Giả sử $a, b, m$ là các số nguyên dương $\gcd(a, m) = 1$. Chứng minh rằng nếu $x$ là nghiệm của $ax \equiv b \pmod m$ thì $x$ cũng là nghiệm của $$r \cdot x \equiv -b \left\lfloor \frac{m}{a} \right\rfloor \pmod m,$$ trong đó $r$ là thặng dư dương bé nhất của $m$ modulo $a$.
Giải hệ đồng dư sau: $$\begin{cases} x \equiv 6 \pmod{11} \\ x \equiv 13 \pmod{16} \\ x \equiv 9 \pmod{21} \\ x \equiv 19 \pmod{25}. \end{cases}$$
Cho $a, b$ là hai số nguyên dương lớn hơn 1, $(a, b) = 1$. Chứng minh rằng tồn tại $k \in \mathbb{Z}$ sao cho $$A = (ab - 1)^n \cdot k + 1$$ là hợp số với mọi $n$ nguyên dương.
Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại một bội của $p$ có 10 chữ số tận cùng đôi một khác nhau.
Cho số nguyên dương $n$. Tìm một cách chứng minh tính chất nhân của hàm $\varphi$ Euler, từ đó tính giá trị của $\varphi(n)$ bằng cách sử dụng định lý thặng dư Trung Hoa.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, luôn tồn tại $n$ số tự nhiên liên tiếp sao cho bất kỳ số nào cũng có ước dạng $2^k - 1$ với $k \in \mathbb{N}^*$.
Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và $n > 3$. Gọi $k, t$ là các số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $kn + 1$ và $tn$ đều là số chính phương. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để $n$ là số nguyên tố là $$\min\{k, t\} > \frac{n}{4}.$$
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại hai số nguyên $a, b$ thoả mãn điều kiện $n \mid a^2 - 34b^2 + 1$.
Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho với $n$ số nguyên $a_1, a_2, \dots, a_n$ đôi một phân biệt bất kỳ, ta luôn chọn được số nguyên dương $m$ để $m - a_1, m - a_2, \dots, m - a_n$ là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau.
─── HẾT ───