Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Thọ — Năm học 2026-2027
Ngày thi: 18/09/2026 & 19/09/2026
Ngày thi: 18 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút
Cho đa thức $P_n(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ với $n \in \mathbb{N}, n \geq 3$ và các hệ số $a_0, a_1, \dots, a_{n-1} \in \mathbb{Z}$. Biết rằng $P_n(x)$ có $n$ nghiệm thực phân biệt lập thành một cấp số cộng.
a) Với $n = 4$, chứng minh rằng đạo hàm $P_4'(x)$ của đa thức $P_4(x)$ có 3 nghiệm thực phân biệt lập thành một cấp số cộng.
b) Chứng minh rằng đa thức $P_n(x)$ luôn phân tích được thành tích của hai đa thức hệ số nguyên với bậc lớn hơn hoặc bằng 1.
Một số nguyên dương $n$ được gọi là số $n$–tốt nếu tồn tại số $a \in \{1; 2; \dots; 2026\}$ sao cho số $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn $\frac{10^k - 1}{n \cdot a}$ là một số thập phân hữu hạn. Ký hiệu $S(n)$ là tập hợp các số $n$–tốt.
a) Chứng minh rằng số $k = 6$ là một số 18–tốt.
b) Tìm giá trị lớn nhất của $|S(n)|$ khi $n$ thay đổi.
Cho tứ giác lồi $ABCD$ có các cạnh $AD$ và $BC$ không song song. Các đường tròn đường kính $AB$ và $CD$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $E, F$. Đường tròn $\omega_E$ đi qua các chân đường vuông góc kẻ từ $E$ đến các đường thẳng $AB, BC, CD$; đường tròn $\omega_F$ đi qua các chân đường vuông góc kẻ từ $F$ đến các đường thẳng $CD, DA, AB$.
a) Chứng minh rằng đường tròn $\omega_E$ đi qua chân đường vuông góc kẻ từ $E$ đến đường thẳng $DA$.
b) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng $EF$ nằm trên đường thẳng đi qua hai giao điểm của các đường tròn $\omega_E$ và $\omega_F$.
Ngày thi: 19 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn $(O)$, có đường phân giác $AD$ ($D \in BC$). Lấy điểm $P$ thuộc đoạn thẳng $AD$ ($P$ khác $A$ và $D$). Gọi $X, Y, Z$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $P$ lên các cạnh $BC, CA, AB$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$ cắt cạnh $BC$ tại điểm thứ hai $X'$ ($X' \neq X$).
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng $AX', BY, CZ$ đồng quy.
b) Đường thẳng $YZ$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $M, N$ sao cho $M, Y, Z, N$ theo thứ tự nằm trên đường thẳng $YZ$. Hai tiếp tuyến tại $B, C$ của $(O)$ cắt nhau tại $S$. Đường thẳng $AP$ cắt lại $(O)$ tại điểm thứ hai $T$. Chứng minh rằng hai tia $SP$ và $ST$ đẳng giác trong góc $\widehat{MSN}$ và đường thẳng $SP$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $PMN$.
Cho tập hợp $S = \{1; 2; \dots; 2026\}$.
a) Có bao nhiêu tập con khác rỗng của $S$ mà tổng các phần tử của nó chia hết cho 4?
b) Xét $n$ ($n \geq 2$) tập con $S_1, S_2, \dots, S_n$ của tập hợp $S$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(i) $S_i \neq \emptyset$ với mọi $i = \overline{1, n}$;
(ii) $|S_i \setminus S_j| \neq 0$ với mọi $i, j \in \{1; 2; \dots; n\}, i \neq j$;
(iii) $|S_i| \neq |S_j|$ với mọi $i, j \in \{1; 2; \dots; n\}, i \neq j$.
Tìm giá trị lớn nhất của $n$.
Tìm tất cả các số thực $k$ sao cho tồn tại hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $$f(f(x) + y) = kx + f(x + f(f(y))), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.$$
─── HẾT ───