Cho $m = 2007^{2008}$. Có bao nhiêu số tự nhiên $n < m$ sao cho $n(2n + 1)(5n + 1)$ chia hết cho $m$?
Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2^n - 1$ chia hết cho 3 và tồn tại số nguyên $m$ để
$$\frac{2^n - 1}{3} \mid 4m^2 + 1$$Cho $p$ là số nguyên tố lẻ và $a > b$ là hai số tự nhiên lẻ sao cho $a + b \ \vdots \ p$ và $a - b \ \vdots \ p - 1$. Chứng minh rằng $a^b + b^a \ \vdots \ 2p$.
Xác định tất cả các cặp số nguyên dương $(n, p)$ sao cho $p$ là số nguyên tố, $n \le 2p$ và $(p - 1)^n + 1$ chia hết cho $n^{p-1}$.
Cho $m$ và $n$ là những số tự nhiên với $m > n \ge 1$. Trong cách viết thập phân, ba chữ số cuối cùng của số $1978^m$ theo thứ tự bằng ba chữ số cuối cùng của $1978^n$. Tìm các số $m$ và $n$ sao cho tổng $m + n$ có giá trị nhỏ nhất.
Tìm tất cả bộ số $(x, y, z) \in \mathbb{Z}^3$ và $\gcd(x, y, z) = 1$ thỏa mãn $x^4 + y^4 = z^2$.
Cho các số nguyên dương $a, b, c, d$ có ước chung lớn nhất bằng 1 và
$$\begin{cases} (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ab + cd)^2 \\ (a^2 + d^2)(b^2 + c^2) = (ad + bc)^2 \end{cases}$$Chứng minh rằng $a + b + c + d$ là số chính phương.
Xét các số nguyên dương $a, b, c$ với $c$ lẻ, $a > b$ thỏa mãn $(a^2 + c)(b^2 + c)$ là lũy thừa của 2. Chứng minh rằng $a + c \ge 3(b + 1)$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có ít nhất ba ước nguyên dương (kể cả 1 và chính nó) và sao cho, nếu
$$d_1 < d_2 < \dots < d_k = n$$là tất cả các ước nguyên dương của $n$, thì $d_i$ là ước của $d_{i+2}$ với mọi $i = 1, 2, \dots, k - 2$.
Ta gọi số nguyên dương $n$ là số đẹp nếu trong 22 số: $5, n + 5, 2n + 5, \dots, 21n + 5$, tồn tại một số có cùng số dư với tích tất cả các số đó, trong phép chia cho 23. Hãy tìm tất cả các số đẹp.
Cho dãy số $(a_n)$ với $a_1 = a$ là một số nguyên và
$$a_{n+1} = a_n^3 + 2a_n^2 - 3a_n - 8, \quad \forall n \ge 1$$Tìm tất cả các số nguyên $a$ sao cho $a_{2023} \equiv 508 \pmod{2024}$.
Cho $S$ là một tập hữu hạn các số nguyên lớn hơn 1 thoả mãn: với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại $x \in S$ sao cho hoặc $x, n$ nguyên tố cùng nhau, hoặc $n$ chia hết cho $x$. Chứng minh rằng, tồn tại $x, y \in S$ (có thể $x = y$) sao cho ước chung lớn nhất của $x, y$ là một số nguyên tố.
Xác định tất cả các số nguyên $a$ sao cho: với mỗi số nguyên dương $k$, tồn tại số nguyên dương $n_k$ thỏa mãn:
$$2^k \mid n_k^{n_k} + a$$Chứng minh rằng, với hai số nguyên dương $a, b$, ta có thể tìm được số nguyên dương $c$, sao cho $a^2 + b^2 + c^2$ là một số chính phương, khi và chỉ khi $ab$ là một số chẵn.
Cho $n$ là một số nguyên dương có tính chất: không tồn tại các số nguyên dương $a, b, c$ sao cho
$$\frac{4}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$$Chứng minh rằng, tồn tại các số nguyên không âm $u, v$ sao cho $n = u^2 + v^2$.