Trường Phổ thông Năng khiếu — ĐHQG TP.HCM — Năm học 2026-2027
Thời gian làm bài: 180 phút / ngày thi
Cho đa thức $P(x) = x^{2027} - x^{2026} + x$ và số thực $a_1 \in (0, 1)$. Dãy $(a_n)$ được xác định bởi $P(a_{n+1}) = a_n$. Chứng minh rằng dãy $(a_n)$ xác định duy nhất và có giới hạn hữu hạn là 1.
Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB < AC$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D$. Đường thẳng $AD$ cắt $(I)$ tại điểm $E$ khác $D$. Tiếp tuyến của $(I)$ tại $E$ cắt các đường thẳng $AB, AC$ lần lượt tại $M, N$. Đường thẳng vuông góc với $MN$ tại $N$ cắt $MI$ tại $P$. Đường thẳng vuông góc với $AC$ tại $N$ cắt $CI$ tại $Q$.
a) Chứng minh rằng đường thẳng $BN$ vuông góc với $PQ$.
b) Gọi $K$ là giao điểm của $BN$ với $CM$ và $L$ là trung điểm của đoạn $PQ$. Chứng minh rằng ba điểm $K, I, L$ thẳng hàng.
a) Chứng minh rằng số nguyên dương chẵn $n$ là số hoàn hảo khi và chỉ khi $n$ có biểu diễn $n = 2^{m-1}(2^m - 1)$, trong đó $m$ là số nguyên dương lớn hơn 1 và $2^m - 1$ là số nguyên tố.
b) Chứng minh không tồn tại số hoàn hảo lẻ có đúng 3 ước nguyên tố phân biệt.
Cho bảng vuông $n \times n$. Các giao điểm giữa các đoạn thẳng được gọi là các nút lưới. Đường đi ngắn nhất giữa 2 nút lưới là dãy cạnh nối giữa 2 đỉnh có độ dài ngắn nhất. Một tập tốt là tập các nút lưới thỏa mãn giữa 2 nút lưới bất kỳ, số đường đi ngắn nhất nối giữa chúng đều là số lẻ.
a) $n$ là lũy thừa của 2. Hãy xây dựng tập tốt có $2n$ nút lưới.
b) $n$ bất kỳ. Tìm số lượng lớn nhất các phần tử của một tập tốt.
Một tập hợp $M$ gồm các số thực dương được gọi là co cụm bậc 2 nếu tỉ số giữa phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất của $M$ không vượt quá 2.
Cho 2000 số thực dương có tổng bằng 1, trong đó mỗi số không vượt quá $\dfrac{1}{100}$. Chứng minh rằng có thể chọn ra 51 số sao cho tập hợp gồm 51 số đó là co cụm bậc 2.
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, thỏa mãn $AB = AD$ và $\angle BAD > 90^\circ$. Đường thẳng $CO$ cắt đường tròn $(BOD)$ tại điểm $G$ khác $O$. Lấy điểm $L$ trên đường thẳng $CA$ sao cho $\angle CGL = 90^\circ$.
a) Gọi $E, F$ lần lượt là các điểm đối xứng của $G$ qua $OB, OD$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $GL, BD, EF$ đồng quy.
b) Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $L$ lên $CB, CD$. Các đường thẳng $GH, GK$ cắt $CA$ lần lượt tại $M, N$. Chứng minh rằng $L$ có cùng phương tích đối với hai đường tròn $(GMN)$ và $(BOD)$.
Cho đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên và số nguyên tố $p$. Ta gọi $P(x)$ là $p$-tốt nếu từ số 0, sau hữu hạn phép biến đổi, ta có thể thu được mọi số nguyên, trong đó tại mỗi bước, từ một số nguyên $a$ ta được phép thực hiện một trong hai phép biến đổi sau:
i) Thay $a$ bởi $P(a)$;
ii) Thay $a$ bởi một số nguyên $b$ thỏa mãn $P(b) \equiv a \pmod p$, nếu tồn tại số nguyên $b$ như vậy.
a) Đếm số đa thức 3-tốt có bậc 99 mà tất cả các hệ số đều thuộc tập $\{1, 2, \dots, 99\}$.
b) Cho $P(x)$ là một đa thức bậc 2 với hệ số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố $p$ sao cho $P(x)$ không phải là đa thức $p$-tốt.