Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ngãi — Năm học 2026-2027
Ngày thi: 17/09/2026 & 18/09/2026
Ngày thi: 17 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút
Cho số nguyên dương $n \geq 2$. Xét phương trình:
$$\frac{1}{x+1} + \frac{1}{2(x+2)} + \dots + \frac{1}{n(x+n)} = 1.$$
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm dương duy nhất $x_n$.
b) Đặt $y_n = n^{\frac{1}{2026}} (1 - x_n)$. Tính $\lim_{n \to +\infty} y_n$.
Một số nguyên dương $n > 1$ được gọi là một số "đẹp" nếu tồn tại các ước số $d_1, d_2, \dots, d_k$ đôi một phân biệt của $n$ ($k \geq 2$) sao cho $n = d_1 d_2 \dots d_k$ và $d_i^2 \mid (n + 3d_i)$ với mọi $i = \overline{1, k}$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số "đẹp".
a) Giả sử $n \in S$ là một số chính phương và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng các ước số $d_1, d_2, \dots, d_k$ đôi một nguyên tố cùng nhau và mỗi $d_i$ đều là một số chính phương.
b) Chứng minh rằng tập hợp $S$ có vô hạn phần tử.
Cho hình bình hành $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Gọi $(I)$ là đường tròn nội tiếp tam giác $OBC$ và $(I)$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $E$.
a) Giả sử tam giác $ADE$ nhọn. Gọi $O_1, O_2, O_3$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABE, ADE, CDE$. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác $O_1 O_2 O_3$ nằm trên đường thẳng $AD$.
b) Giả sử tồn tại điểm $S$ khác phía với $O$ đối với đường thẳng $AD$ sao cho các đường thẳng $SA, SD$ cùng tiếp xúc với đường tròn $(I)$. Gọi $K$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $SAD$. Chứng minh rằng đường thẳng $OK$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AD$.
Ngày thi: 18 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M, N$ lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ $BC$ và cung lớn $\widehat{BAC}$ của $(O)$.
a) Gọi $I, J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $AMB, AMC$. Chứng minh rằng bốn điểm $A, N, I, J$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi $(K)$ là đường tròn tiếp xúc với các đoạn thẳng $AM, AB$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$; $(L)$ là đường tròn tiếp xúc với các đoạn thẳng $AM, AC$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến chung trong khác $AM$ của hai đường tròn $(K)$ và $(L)$ cắt đường thẳng $MN$ tại điểm $Z$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AZN$ tiếp xúc với cả hai đường tròn $(K)$ và $(L)$.
Có $N$ người ngồi quanh một bàn tròn ($N \geq 3$), mỗi người ban đầu cầm trên tay $k$ tấm thẻ ($k \geq 2$). Mỗi tấm thẻ được ghi một số nguyên dương thuộc tập hợp $\{1; 2; \dots; N\}$, biết rằng mỗi số nguyên từ 1 đến $N$ xuất hiện trên đúng $k$ tấm thẻ trong tất cả các tấm thẻ của $N$ người. Tại mỗi lượt chơi, tất cả mọi người đồng thời giữ lại trên tay tấm thẻ có ghi số lớn nhất mà mình đang có và chuyển tất cả các tấm thẻ còn lại cho người ngồi ngay bên trái mình. Trò chơi kết thúc khi có một người nào đó cầm trên tay đúng $k$ tấm thẻ ghi cùng một số.
a) Với $N = 25$ và $k = 2$, chứng minh rằng trò chơi luôn kết thúc sau một số hữu hạn lượt chơi.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(k, N)$ với $k \geq 2, N \geq 3$ sao cho trò chơi luôn kết thúc sau một số hữu hạn lượt chơi với mọi cách phân phối thẻ ban đầu.
Cho đa thức hệ số thực: $$P(x) = x^{2026} + a_1 x^{2025} + a_2 x^{2024} + \dots + a_{2025}x + a_{2026}$$ thỏa mãn $a_{2024} = 0$, $a_{2025} a_{2026} > 0$ và $P(x)$ có đúng 2026 nghiệm thực (kể cả bội).
a) Chứng minh rằng phương trình $P(x) = 0$ có cả nghiệm thực dương và nghiệm thực âm.
b) Dãy các đa thức $(P_n(x))$ được xác định bởi $P_1(x) = P(x)$ và $P_{n+1}(x) = P(P_n(x))$ với mọi $n \geq 1$. Chứng minh rằng phương trình $P_{2026}(x) = 0$ có cả nghiệm thực dương và nghiệm thực âm.
─── HẾT ───