Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ninh — Năm học 2026-2027
Ngày thi: 11/09/2026 & 12/09/2026
Ngày thi: 11 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút
Cho $a, b, c$ là các số thực dương, chứng minh rằng:
$$\sqrt{a^4 + b^4 + c^4} + \sqrt{a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2} \geq \sqrt{a^3 b + b^3 c + c^3 a} + \sqrt{a b^3 + b c^3 + c a^3}.$$Cho $P(x)$ là đa thức hệ số thực bậc 2026, có hệ số cao nhất bằng 1.
a) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n_0$ sao cho với mọi số nguyên dương $n \geq n_0$ thì phương trình $P(x) = 2027^n$ có duy nhất một nghiệm thực dương, ký hiệu là $x_n$.
b) Chứng minh rằng dãy $(y_n): y_n = x_{n+2026} - 2027 \cdot x_n, \forall n \geq n_0$ có giới hạn hữu hạn.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp $(O)$. Một đường tròn $(\omega) \neq (O)$ đi qua $B$ và $C$ cắt các đoạn $AB$ và $AC$ tại các điểm thứ hai lần lượt là $T$ và $S$. Gọi $H$ là giao điểm của $BS$ và $CT$. Một đường thẳng qua $H$ và không đi qua các đỉnh của tam giác $ABC$, cắt các đoạn $AB$ và $AC$ lần lượt tại $L$ và $K$. Đường thẳng qua $K$ và song song với $BS$ cắt đường thẳng $AB$ tại $F$. Đường thẳng qua $L$ và song song với $CT$ cắt đường thẳng $AC$ tại $E$.
a) Chứng minh rằng $\dfrac{TS}{KL} = \dfrac{BC}{EF}$.
b) Các đường thẳng $KF$ và $LE$ cắt $BC$ lần lượt tại $R$ và $Q$. $KF$ cắt $LE$ tại $P$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$ tiếp xúc với $(O)$.
Một tập hợp khác rỗng các số nguyên dương được gọi là tốt nếu tập hợp đó không chứa hai số $a$ và $b$ sao cho thương của chúng là một lũy thừa của 3 với số mũ nguyên dương.
a) Tìm số các tập con tốt của $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.
b) Một tập con tốt của $X = \{1; 2; 3; \dots; 2187\}$ có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?
c) Có bao nhiêu tập con của $X = \{1; 2; 3; \dots; 2187\}$ là tốt và có số phần tử nhiều nhất?
Ngày thi: 12 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút
Xét tất cả các hàm số $f: (0; +\infty) \to \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
(1) $f\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right) = f(x)f(y), \quad \forall x, y > 0$;
(2) $f(x)f(y) \geq f(xy)f(1), \quad \forall x, y \geq 1$.
a) Chứng minh rằng nếu $f$ không là hàm hằng thì $f(x) > 0$ với mọi $x > 0$.
b) Tìm tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn đề bài.
Cho hai dãy số nguyên $(x_n)_{n \geq 0}$ và $(y_n)_{n \geq 1}$ được xác định như sau:
$$x_0 = 0; \quad x_1 = 2; \quad x_{n+1} = 6x_n - x_{n-1}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*;$$ $$y_1 = 17; \quad y_{n+1} = 2y_n^2 - 1, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*.$$a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$ lẻ thì $p$ là ước của $x_{p-1} \cdot x_{p+1}$.
b) Cho trước hai số nguyên dương $a, b$ với $b > a + 2$. Chứng minh rằng chỉ tồn tại hữu hạn cặp số nguyên dương $(c; n)$ sao cho $(c+a)(c+b)$ là ước của $y_n$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định với $B, C$ cố định, $A$ dịch chuyển trên cung lớn $BC$. Phân giác của góc $\widehat{BAC}$ cắt $BC$ tại $K$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$; $BH$ và $CH$ cắt $AK$ lần lượt tại $E$ và $F$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KBE$ cắt $AB$ tại điểm $G$ khác $B$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KCF$ cắt $AC$ tại $L$ khác $C$.
a) Chứng minh rằng $AG = AL = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{AB + AC}$.
b) Gọi $Q$ là giao điểm của $GL$ và $BC$, $S$ là giao điểm của $BL$ và $CG$. Chứng minh rằng đường thẳng $QS$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ dịch chuyển trên cung lớn $BC$ thỏa mãn đề bài.
─── HẾT ───