Tải bản PDF

Vòng 1

Câu 1. (5,0 điểm)

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_1 = 1$ và $x_{n+1} = \sqrt{x_n^2 + 2x_n + 2} - 1$ với mọi $n \ge 1$.

a) Chứng minh dãy $(x_n)$ hội tụ và tìm $\lim x_n$.

b) Tìm tất cả các giá trị của $\alpha > 0$ sao cho dãy số $(y_n)$ với $y_n = n^\alpha x_n$ có giới hạn hữu hạn khác 0 khi $n \to +\infty$.

Câu 2. (5,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f(x^2 - y^2) = x f(x) - y f(y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$

Câu 3. (5,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$, đường cao $AH$, trực tâm $K$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $M$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc với $BC$ cắt $AC$ tại $F$. Gọi $L$ là hình chiếu vuông góc của $K$ trên $AF$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $AHEL$ nội tiếp.

b) Đường thẳng $EF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $KBC$ tại $P$ ($P$ và $A$ nằm cùng phía so với đường thẳng $BC$). Đường thẳng $AP$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $Q$. Chứng minh rằng $Q, K, M$ thẳng hàng.

Câu 4. (5,0 điểm)

Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4k + 3$. Giả sử $a, b, c$ là các số nguyên thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 \equiv 0 \pmod p$. Chứng minh rằng $a \equiv b \equiv c \equiv 0 \pmod p$.

Vòng 2

Câu 5. (5,0 điểm)

Cho $P(x)$ là đa thức với hệ số thực thỏa mãn $P(x^2 + 1) = [P(x)]^2 + 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và $P(0) = 0$.

a) Chứng minh rằng $P(x) = x$.

b) Cho đa thức $Q(x) = x^{2026} + a_{2025}x^{2025} + \dots + a_1 x + a_0$ có 2026 nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng đa thức $Q(x^2 + 1)$ có ít nhất 2026 nghiệm thực phân biệt.

Câu 6. (5,0 điểm)

Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ cố định không đi qua $O$. Điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và $AB < AC$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$, $D$ là chân đường cao kẻ từ $A$. Đường tròn tâm $H$ bán kính $HA$ cắt $(O)$ tại $E, F$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $M$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $ADHM$ nội tiếp.

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AME$ cắt $(O)$ tại $N$ ($N \ne A$). Chứng minh rằng đường thẳng $HN$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ thay đổi.

Câu 7. (5,0 điểm)

Cho bảng ô vuông kích thước $2025 \times 2025$. Mỗi ô vuông đơn vị được tô bởi một trong 3 màu: đỏ, xanh, vàng. Một cách tô màu được gọi là "hài hòa" nếu mỗi hình chữ nhật kích thước $1 \times 3$ hoặc $3 \times 1$ chứa đủ 3 màu.

a) Chứng minh rằng tồn tại cách tô màu hài hòa.

b) Có bao nhiêu cách tô màu hài hòa cho bảng ô vuông đã cho?

─── HẾT ───