Sở Giáo dục và Đào tạo Sơn La — Năm học 2026-2027
Thời gian làm bài: 180 phút / ngày thi
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 2025$ và $u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n^2}$ với mọi $n \ge 1$.
a) Chứng minh rằng $\lim u_n = +\infty$.
b) Tìm giới hạn $\lim \left(\dfrac{u_n}{\sqrt[3]{n}}\right)$.
Cho đa thức $P(x) = x^{2026} + a_{2025}x^{2025} + \dots + a_1 x + a_0$ có các hệ số nguyên thỏa mãn $P(0) \ne 0$ và $P(x)$ có 2026 nghiệm thực phân biệt.
Chứng minh rằng tất cả các nghiệm thực của $P(x)$ đều là số vô tỉ.
Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $EF$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $X, Y$.
a) Chứng minh rằng $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DXY$.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AXY$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $K$ ($K \ne A$). Chứng minh rằng $K, H, M$ thẳng hàng.
Cho $p$ là một số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên $x, y$ sao cho $x^2 + xy + y^2 \equiv 0 \pmod p$ và $x, y$ không cùng chia hết cho $p$, thì $p \equiv 1 \pmod 3$.
Tìm tất cả các hàm số $f: (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ thỏa mãn:
$$f(x f(y)) = f(x + y) + \dfrac{1}{y}, \quad \forall x, y > 0$$Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, $(I)$ tiếp xúc với $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, đường thẳng $AD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $N$ ($N \ne A$). Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $IM$ cắt $EF$ tại $K$.
a) Chứng minh rằng $KD$ là tiếp tuyến của $(I)$.
b) Gọi $P$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Chứng minh rằng $NP \perp OI$.
Trên bảng cho $2026$ số nguyên dương phân biệt $a_1, a_2, \dots, a_{2026}$. Ở mỗi bước, người ta chọn hai số bất kỳ $x, y$ trên bảng sao cho $x > y$, xóa hai số này đi và thay bằng $\gcd(x, y)$ và $\operatorname{lcm}(x, y)$.
Chứng minh rằng sau một số hữu hạn bước, các số trên bảng sẽ không thay đổi nữa.
─── HẾT ───