Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội — Năm học 2026-2027
Thời gian làm bài: 180 phút / ngày thi
Cho đa thức monic $P(x)$ có bậc lớn hơn 1, thỏa mãn $P(n) > 0$ với mọi số tự nhiên $n$. Xét dãy số $(x_n)$ được xác định bởi $x_0 = \dfrac{1}{P(0)}$ và
$$x_n = \dfrac{P(n-1)x_{n-1}}{P(n) + P(n-1)x_{n-1}}, \quad \forall n \ge 1.$$Chứng minh rằng dãy $(y_n)$ được xác định bởi $y_n = x_1 + x_2 + \dots + x_n$ có giới hạn hữu hạn khi $n \to +\infty$.
Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng:
a) $(n+1)C_{n^2}^n \mid (2n-1)C_{2n}^n C_{2n^2}^{2n}$.
b) $\dfrac{(2n-1)C_{2n}^n C_{2n^2}^{2n}}{(n+1)C_{n^2}^n}$ là số nguyên lẻ khi và chỉ khi $n+1$ là lũy thừa của 2.
Cho đa thức $P(x) = x^{2027} + 2026x + 2025$. Tìm tất cả các cặp hàm số $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(P(x) + x + 25y) + f(x + y) = g(x + 26y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.$$Cho dãy số $(a_n)$ được xác định bởi $a_1 = 24^{24}, a_2 = 25^{25}, a_3 = 26^{26}$, và
$$a_n = |a_{n-1} - a_{n-2}| + |a_{n-2} - a_{n-3}|, \quad \forall n \ge 4.$$Tính giá trị của $a_{27^{27}}$.
Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$, và đường tròn ngoại tiếp là $(O)$. Các đường thẳng $BE, CF$ cắt lại $(I)$ lần lượt tại $P, Q$. Tiếp tuyến của $(I)$ tại $P, Q$ cắt đường thẳng $BC$ lần lượt tại $M, N$. Gọi $T$ là trung điểm cung $BC$ của $(O)$ không chứa $A$. Đường thẳng $TD$ cắt lại $(O)$ tại $K$. Chứng minh rằng đường tròn $(KMN)$ tiếp xúc với $(O)$.
Cho một bảng ô vuông vô hạn, mỗi ô được điền một số thực. Giả sử $m, n \ge 2$ là hai số nguyên dương phân biệt sao cho:
1. Tổng các số trong mọi bảng con kích thước $m \times m$ đều bằng nhau;
2. Tổng các số trong mọi bảng con kích thước $n \times n$ đều bằng nhau;
3. Tồn tại hai ô của bảng được điền hai số thực khác nhau.
Gọi $S$ là tập hợp các số thực phân biệt để điền vào sao cho thỏa mãn các điều kiện trên. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của $|S|$ theo $m, n$.
─── HẾT ───