Sở Giáo dục và Đào tạo Tây Ninh — Năm học 2026-2027
Thời gian làm bài: 180 phút / ngày thi
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 1$, $u_2 = 2$ và $u_{n+2} = 4u_{n+1} - u_n$ với mọi $n \ge 1$.
a) Chứng minh rằng $u_{2n} - u_n^2 = 1$ với mọi $n \ge 1$.
b) Chứng minh rằng $2u_{2n} - 1$ là một số chính phương với mọi $n \ge 1$.
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn:
$$P(x^2 - 2) = (P(x))^2 - 2, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$) có các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại trực tâm $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $K$ ($K \ne A$). Đường thẳng $HK$ cắt $BC$ tại $P$.
a) Chứng minh rằng ba điểm $P, E, F$ thẳng hàng.
b) Gọi $Q$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $AM$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $KQ \perp PM$.
Cho tập hợp $S = \{1, 2, \dots, 2025\}$. Một tập con $A$ của $S$ được gọi là tập "cân xứng" nếu không tồn tại hai phần tử phân biệt $x, y \in A$ sao cho $x + y$ chia hết cho 5.
a) Tìm số phần tử lớn nhất có thể có của tập con $A$.
b) Có bao nhiêu tập con $A$ có số phần tử lớn nhất?
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x^2 + f(y)) = y + (f(x))^2, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai đường chéo $AC, BD$ cắt nhau tại $I$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$. Qua $I$ kẻ các đường thẳng vuông góc với $AC, BD$ lần lượt cắt $BD, AC$ tại $P, Q$.
a) Chứng minh rằng $PQ \parallel MN$.
b) Gọi $R$ là hình chiếu của $I$ trên $MN$. Chứng minh rằng $R$ thuộc đường tròn Euler của tam giác $IPQ$.
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a, b)$ sao cho $a^3 + b^3 + 3ab$ chia hết cho $ab(a - b) + 1$.
─── HẾT ───