Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên — Năm học 2026-2027
Ngày thi: 10/09/2026 — Thời gian làm bài: 180 phút
Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng
\[ \frac{1}{b+c+1} + \frac{1}{c+a+1} + \frac{1}{a+b+1} \ge 2\left(\frac{1}{a+5} + \frac{1}{b+5} + \frac{1}{c+5}\right). \]Cho dãy số $(a_n)$:
\[ \begin{cases} a_1 = 2026 \\ n a_n = a_{n-1} + 1, \quad \forall n \ge 2 \end{cases} \]Xác định giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương $k$ sao cho $2026 a_k < 1$.
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
\[ f(y f(x+y) + f(x)) = 4x + 2y f(x+y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}. \]Cho $n$ số nguyên dương đôi một phân biệt $a_1, \dots, a_n$. Đặt
\[ b_i = (a_i - a_1)\dots(a_i - a_{i-1})(a_i - a_{i+1})\dots(a_i - a_n). \]Chứng minh rằng $(n-1)!$ là ước của $\operatorname{lcm}(b_1, \dots, b_n)$, trong đó $\operatorname{lcm}(b_1, \dots, b_n)$ là bội chung nhỏ nhất của các số nguyên $b_1, \dots, b_n$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$. Đường phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt $BC$ tại $E$ và cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $M$. Đường tròn tâm $E$ bán kính $EM$ cắt cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(O)$ và tia $MO$ tại các điểm thứ hai tương ứng là $D$ và $Q$. Lấy điểm $P$ thuộc đoạn thẳng $AD$ ($P \neq A, P \neq D$) sao cho $\widehat{ABP} = \widehat{ACP}$.
a) Chứng minh rằng bốn điểm $A, E, Q, D$ đồng viên.
b) Gọi giao điểm của $AM$ với $BP, CP$ tương ứng là $K, L$. Chứng minh rằng $OP$ là đường trung trực của đoạn thẳng $KL$.
Cho số nguyên dương $n$ và tập hợp $A$ gồm $60n + 1$ số nguyên dương không vượt quá $210n$ và nguyên tố cùng nhau với 14. Chứng minh rằng, trong $A$ luôn tồn tại hai số mà một số chia hết cho ba lần số còn lại.