Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thanh Hóa — Năm học 2026-2027
Ngày thi: 11/09/2026 & 12/09/2026
Ngày thi: 11 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút
Với $n$ là số nguyên dương, xét các số thực dương $a_0, a_1, \dots, a_n$ thỏa mãn các điều kiện: $a_0$ là một số nguyên, $\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{a_i} \leq 1$ và $a_i \leq a_{i-1} + 1$ với mọi $i \in \{1, 2, \dots, n\}$.
a) Chứng minh rằng $n \leq 2a_0$.
b) Tìm hằng số $C$ nhỏ nhất để $n \leq C a_0 \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{a_i}$ với mọi $n \geq 1$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$, có tâm đường tròn nội tiếp là $I$. Đường thẳng vuông góc với $AI$ tại $I$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn $(O)$ và đường thẳng $AI$ tương ứng tại $G, H$ ($G$ khác $A$).
a) Gọi $(O_1)$ là đường tròn tiếp xúc với các cạnh $AB, AC$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $T$. Chứng minh rằng bốn điểm $G, T, H, I$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Tiếp tuyến tại $G$ của $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $J$, đường thẳng $AJ$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $K$ khác $A$. Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $BC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $DJK$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $GHI$ tiếp xúc với nhau.
Một điểm lưới là một điểm $(x; y)$ trên mặt phẳng tọa độ sao cho $x, y$ là các số nguyên dương không vượt quá 20. Ta nói điểm $B = (x'; y')$ nằm về phía Đông Bắc của điểm $A = (x; y)$ nếu $x' > x$ và $y' > y$. Ba điểm lưới $A, B, C$ được gọi là một bộ ba Đông Bắc nếu $B$ nằm về phía Đông Bắc của $A$ và $C$ nằm về phía Đông Bắc của $B$.
Một tập hợp gồm 20 điểm lưới được gọi là Lam Sơn nếu mọi đường thẳng đi qua hai điểm trong tập hợp đều không song song với các trục tọa độ, đồng thời tập hợp chứa ít nhất một bộ ba Đông Bắc.
a) Chứng minh rằng trong mỗi tập Lam Sơn luôn tồn tại ba điểm $X, Y, Z$ sao cho:
$$XY^2 \geq XZ^2 + ZY^2 + 4.$$b) Hỏi có bao nhiêu tập Lam Sơn?
Ngày thi: 12 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút
Xét các đa thức $P(x), Q(x), R(x)$ với hệ số thực có bậc không quá 2027 đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
(i) Với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì $P(x) \leq Q(x) \leq R(x)$;
(ii) Có 1013 số thực phân biệt $x_1, x_2, \dots, x_{1013}$ thỏa mãn $P(x_i) = R(x_i)$ với mọi $i = \overline{1, 1013}$.
a) Chứng minh rằng: nếu tồn tại số thực $x_0$ khác tất cả các số $x_1, x_2, \dots, x_{1013}$ và thỏa mãn $P(x_0) + R(x_0) = 2Q(x_0)$ thì $P(x) + R(x) = 2Q(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
b) Giả sử $P(x), Q(x), R(x)$ đôi một phân biệt và $R(x)$ có bậc lẻ. Tồn tại hay không đa thức $Q(x)$ sao cho $R(x) - P(x)$ chia hết cho $Q(x)$?
Cho $n > 1$ là một số nguyên lẻ, ta viết $n = 2^s d + 1$ trong đó $s \geq 1$ và $d$ là số nguyên dương lẻ. Với mỗi số nguyên $a$ thỏa mãn $\gcd(a, n) = 1$, ta nói $a$ có liên hệ với $n$ nếu $a^d \equiv 1 \pmod n$ hoặc trong dãy $a^d, a^{2d}, a^{4d}, \dots, a^{2^{s-1}d}$ có đúng một số hạng đồng dư với $-1$ theo modulo $n$. Chứng minh rằng $n$ là số nguyên tố khi và chỉ khi với mọi số nguyên $a$ thỏa mãn $\gcd(a, n) = 1$ đều có liên hệ với $n$.
Tìm số nguyên dương $N$ nhỏ nhất sao cho tồn tại 2026 số nguyên không âm liên tiếp mà tổng tất cả các chữ số của chúng bằng $N$.
─── HẾT ───