Tải bản PDF

Bài 1. (5,0 điểm)

Giả sử đa thức $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có hệ số thực dương và có 3 nghiệm thực phân biệt.

a) Chứng minh rằng $\max\{a, b, c, d\} > \min\{a, b, c, d\}$.

b) Tìm hằng số thực $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức luôn đúng: $$\max\{a, b, c, d\} > k \cdot \min\{a, b, c, d\}.$$

Bài 2. (5,0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn $$n \cdot \tau(n) \equiv 2 \pmod{\varphi(n)},$$ trong đó $\tau(n)$ là số ước dương của $n$ và $\varphi(n)$ là phi hàm Euler.

Bài 3. (5,0 điểm)

Cho bảng ô vuông $10 \times 10$.

a) Tô đen 20 ô trong bảng sao cho mỗi hàng và mỗi cột có đúng 2 ô được tô. Từ một ô được tô, ta được phép chuyển sang ô được tô còn lại trong cùng hàng hoặc cùng cột. Biết rằng từ một ô được tô bất kỳ ta có thể đi tới tất cả các ô được tô khác bằng một số hữu hạn lần chuyển như vậy. Hỏi có bao nhiêu cách tô thỏa mãn?

b) Tô đen một số ô trong bảng sao cho với mỗi ô đen, tổng số ô đen nằm cùng hàng hoặc cùng cột với ô đó, kể cả chính ô đang xét, không vượt quá 10. Tìm số ô đen lớn nhất có thể tô.

Bài 4. (5,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Lấy các điểm $M, N$ thuộc đường thẳng $EF$ sao cho $$\angle ABM = \angle ACN = 90^\circ.$$ Đường tròn $(MBE)$ cắt $BC$ tại $P$ khác $B$. Đường tròn $(NCF)$ cắt $BC$ tại $Q$ khác $C$.

a) Chứng minh rằng $D$ thuộc trục đẳng phương của $(MBE)$ với $(NCF)$.

b) Gọi $L$ là giao điểm của $MP$ và $NQ$. Chứng minh $LD$ đi qua điểm chính giữa cung lớn $BC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

─── HẾT ───