Môn thi: Toán học — Kỳ thi chọn đội tuyển quốc gia năm học 2026 - 2027
Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi:
$$\begin{cases} u_1 = 0 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{5 - u_n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}$$a) Chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính $\lim u_n$.
b) Đặt $T_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{u_k - 3}$. Tính $\lim \left(\dfrac{T_n}{2n + 3}\right)$.
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(xf(y)) + f(f(x) + f(y)) = yf(x) + f(x + f(y)), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$a) Cho $p > 3$ là số nguyên tố thỏa mãn $\gcd(p - 1, 2023) = 1$. Chứng minh rằng:
$$\sum_{i=1}^{p-1} i^{2026} \equiv 0 \pmod p$$b) Cho $p > 3$ là số nguyên tố và $x \in \mathbb{N}^*$ sao cho:
$$\begin{cases} x^3 - 1 \equiv 0 \pmod p \\ x^2 - 1 \not\equiv 0 \pmod p \end{cases}$$Chứng minh rằng $p \equiv 1 \pmod 3$ và $(x + 1)^p \equiv x^p + 1 \pmod{p^2}$.
Thầy giáo cho 10 học sinh làm bài kiểm tra với $n$ câu hỏi trắc nghiệm với 4 phương án A, B, C, D. Biết rằng thầy giáo chọn 2 học sinh bất kỳ thì thấy 2 học sinh này có nhiều nhất 1 câu hỏi có cùng một phương án.
a) Với $n = 3$, tìm một ví dụ thỏa mãn bài toán.
b) Tìm giá trị lớn nhất của $n$.
Cho đa thức $P(x) = x^{100} + a_{99}x^{99} + \dots + a_1 x + a_0$, với các hệ số là số nguyên. Biết $P(i) = 2i - 1, \forall i = 1, 2, \dots, 99$.
a) Tính $P(0) + P(100) - 100!$
b) Giả sử cho $P(100) = 199$. Đặt $Q(x) = P(x) - 2x + 1 + p$, với $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $p > 100^{100}$. Chứng minh rằng $Q(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB < AC$ và đường cao $AD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, AC$. Dựng các hình bình hành $ABCB', ABA'C, ACBC'$. Gọi $K$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDN$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDM$.
a) Gọi $X$ là giao điểm của $MN$ và $BC'$, $Y$ là giao điểm của $MN$ và $CB'$. Chứng minh rằng $X$ thuộc đường tròn $(BDN)$, $Y$ thuộc đường tròn $(CDM)$ và đường thẳng $DK$ đi qua trung điểm $Q$ của đoạn thẳng $MN$.
b) Chứng minh rằng đường tròn $(KMC')$ cắt đường tròn $(KNB')$ tại một điểm nằm trên đường thẳng $B'C'$.
Một số nguyên dương $n$ được gọi là số "đẹp" khi tập hợp các số từ $1, 2, \dots, n$ có thể phân hoạch thành các tập hợp con sao cho mỗi tập hợp con đó có trung bình cộng của các phần tử bằng chính số lượng phần tử của nó.
Ví dụ: 4 được gọi là số "đẹp" vì $\{1\}$ và $\{2; 3; 4\}$ là các tập hợp con thỏa mãn yêu cầu bài toán.
a) Chứng minh rằng 9 và 13 là các số "đẹp".
b) Chứng minh rằng mọi số chính phương đều là số "đẹp".
─── HẾT ───