Tải bản PDF

Bài thi thứ nhất (Buổi 1)

Ngày thi: 11 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1. (5,0 điểm)

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi:

$$\begin{cases} u_1 = \dfrac{1}{2}, \\ u_{n+1} = \dfrac{\sqrt{u_n^2 + 4u_n} + u_n}{2}, \quad (\forall n \in \mathbb{N}^*). \end{cases}$$

Đặt $v_n = \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{u_i^2}$ ($\forall n \in \mathbb{N}^*$). Chứng minh rằng dãy số $(v_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 2. (5,0 điểm)

a) Giải phương trình:

$$\sqrt{(x-3)(x+5)} + \sqrt{x-3} + \sqrt{x+5} = \dfrac{10 - x}{2} + \sqrt{x + 12}.$$

b) Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x^3 - x^2 y = x^2 - x + y + 1, \\ 5\sqrt{x+2} + \sqrt{y+3} = 3x^2 - y + 1. \end{cases}$$

Câu 3. (5,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P): y^2 = 4x$. Gọi $M$ là điểm di động trên $(P)$, $T$ là điểm trên $(P)$ sao cho $OT \perp OM$ ($M$ và $T$ đều không trùng với $O$). Chứng minh rằng khi $M$ di động trên $(P)$ thì đường thẳng $MT$ luôn đi qua một điểm cố định và đồng thời trung điểm của đoạn thẳng $MT$ luôn chạy trên một parabol cố định.

Câu 4. (5,0 điểm)

Cho bảng ô vuông kích thước $2 \times 4$ gồm 8 ô vuông. Sử dụng 4 màu khác nhau để tô cho 8 ô sao cho mỗi ô chỉ được tô đúng một màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu thỏa mãn trong các cặp ô vuông có chung cạnh, có đúng một cặp được tô cùng màu, còn tất cả các cặp chung cạnh khác đều được tô khác màu?

Bài thi thứ hai (Buổi 2)

Ngày thi: 11 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1. (5,0 điểm)

a) Cho các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 2$. Chứng minh rằng:

$$a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 \leq 1.$$

b) Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x(y^2 + z^2) = y + z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P = \dfrac{1}{(1+x)^2} + \dfrac{1}{(1+y)^2} + \dfrac{1}{(1+z)^2} + \dfrac{4}{(1+x)(1+y)(1+z)}.$$

Câu 2. (5,0 điểm)

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 1, u_2 = 3$ và công thức truy hồi:

$$u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_n, \quad \forall n \geq 1.$$

Giả sử đa thức $P(x)$ có hệ số thực, bậc $m \in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn:

$$P(k) = u_k, \quad \forall k \in \{m + 2; m + 3; \dots; 2m + 2\}.$$

a) Chứng minh rằng đa thức $Q(x) = P(x + 2) - P(x + 1)$ có bậc $m - 1$ và thỏa mãn:

$$Q(k) = 2^{k+1}, \quad \forall k \in \{m + 1; m + 2; \dots; 2m\}.$$

b) Chứng minh rằng $P(2m + 3) = u_{2m+3} - 2^{m+2}$.

Câu 3. (5,0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n \equiv 2 \pmod 4$ và $A(k) = 3^k n - 1$ là số nguyên tố với mọi $k \in \{1; 2; \dots; n\}$.

Câu 4. (5,0 điểm)

Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $P, Q$. Đường thẳng qua $P$ cắt $(O_1), (O_2)$ lần lượt tại $A$ và $B$ (không trùng với $Q$). Trên đường tròn $(O_1)$ lấy điểm $F$ thuộc cung $\widehat{PQ}$ không chứa điểm $A$. Kẻ đường thẳng $d$ qua $F$ song song với $AB$, $d$ cắt đường tròn $(O_2)$ tại $C, E$ và cắt lại $(O_1)$ tại $D$ ($E, F$ nằm trong đoạn thẳng $CD$). Gọi $M$ là giao điểm của $AD$ và $BE$, $N$ là giao điểm của $BC$ và $AF$, $K$ là điểm đối xứng của $P$ qua $CD$.

a) Chứng minh ba điểm $M, K, N$ thẳng hàng.

b) Chứng minh $PK$ là đường phân giác của góc $\widehat{MPN}$.

─── HẾT ───