Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(a, n)$ sao cho $\dfrac{(a+1)^n - a^n}{n}$ là số nguyên.
Xác định tất cả các cặp số nguyên dương $(n, p)$ sao cho $p$ là số nguyên tố, $n \le 2p$ và $(p - 1)^n + 1$ chia hết cho $n^{p-1}$.
1. Cho $a, b$ là các số nguyên dương sao cho $b^n + n \;\vdots\; a^n + n, \forall n \in \mathbb{Z}^+$. Chứng minh rằng $a = b$.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a, b)$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$ thì $b^n + 2024^n \cdot n$ chia hết cho $a^n + 2024^n \cdot n$.
Cho số nguyên dương $n > 3$ lẻ và đặt $m = \varphi(n)$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $p$ chia hết $2^m - 1$, nhưng $p$ không chia hết $n$.
Cho dãy số $(a_n)$ được xác định bởi $$a_1 = a, \quad a_{n+1} = 2^{a_n}, \quad \forall n = 1, 2, \dots$$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$ mà $m \le n$ thì $a_n \equiv a_{n-1} \pmod m$.
Cho số nguyên $a > 1$. Chứng minh rằng tập hợp $$S = \{a^2 + a - 1, a^3 + a^2 - 1, a^4 + a^3 - 1, \dots\}$$ chứa một tập vô hạn các số nguyên, mà hai phần tử bất kỳ trong tập đó đều nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$ với $p \equiv 1 \pmod 4$ thì với mỗi số tự nhiên $a$ với $1 \le a \le \frac{p-1}{2}$ sẽ tồn tại duy nhất số tự nhiên $b$ thoả mãn $\frac{p+1}{2} \le b \le p - 1$ sao cho $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod p$.
1. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố dạng $4k + 1$.
2. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố dạng $3k + 1$.
Tìm tất cả các số nguyên $n > 1$ sao cho $a^{25} - a$ chia hết cho $n$ với mỗi số nguyên $a$.
Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Đặt $m = \dfrac{9^p - 1}{8}$. Chứng minh rằng $m$ là một hợp số lẻ, không chia hết cho 3 và $3^{m-1} \equiv 1 \pmod m$.
─── HẾT ───