Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn $1$ và $a$ là số nguyên tố cùng nhau với $n$. Khi đó tồn tại các số nguyên $x, y$ với $0 < |x|, |y| < \sqrt{n}$ sao cho: \[ x \equiv ay \pmod{n} \]
Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố lẻ biểu diễn được dưới dạng $p = x^2 + y^2$ khi và chỉ khi $p \equiv 1 \pmod{4}$.
Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố lẻ biểu diễn được dưới dạng $p = x^2 + 2y^2$ khi và chỉ khi $p \equiv 1, 3 \pmod{8}$.
Chứng minh rằng nếu số tự nhiên $m$ có dạng $4k + 1$ với $(k > 0)$ mà biểu diễn được không ít hơn hai cách dưới dạng tổng hai số chính phương thì $m$ là hợp số.
Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố lẻ biểu diễn được dưới dạng $p = x^2 + 3y^2$ khi và chỉ khi $p \equiv 1 \pmod{6}$.
Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng $p$ biểu diễn được dưới dạng $p = 2x^2 + 3y^2$, $x, y \in \mathbb{Z}$ khi và chỉ khi $p \equiv 5, 11 \pmod{24}$.
Cho số nguyên tố $p$ và số nguyên $n$ với $(n, p) = 1$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $x, y$ sao cho $p \mid x^2 + ny^2$ khi và chỉ khi $-n$ là thặng dư bậc hai $\pmod{p}$.
Cho $p$ là số nguyên tố và $a$ là số nguyên thỏa mãn $p \mid 2a^2 - 1$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $b$ và $c$ sao cho $p = 2b^2 - c^2$.
Cho số nguyên tố $p \equiv 1 \pmod{3}$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $x, y$ sao cho $p = x^2 + xy + y^2$.
Cho số nguyên tố $p$. Chứng minh rằng $p$ biểu diễn được dưới dạng $2x^2 + 3y^2$ với các số nguyên dương $x, y$ khi và chỉ khi $p \equiv 5,11 \pmod{24}$.
Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $20n + 7$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương có thể biểu diễn dưới dạng $a^2 + 5b^2$ với $a, b$ là hai số nguyên tố cùng nhau.
─── END ───
Nếu bạn có lời giải cho bất kì bài toán nào, hãy gửi nó cho tôi — tôi sẽ đăng lên hệ thống và ghi nhận đóng góp của bạn!
$ ... $ và display \[ ... \]
Nhấn để chọn file hoặc kéo & thả vào đây
Hỗ trợ ảnh (PNG, JPG...) và PDF
Lời giải và toàn bộ file đính kèm sẽ được nén và đẩy thẳng đến tác giả!