a) Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $x + y + z = 9$ và $(x - 1)(y - 1)(z - 1) = 6$. Tính giá trị biểu thức:
$$ A = \frac{1}{xy + z - 8} + \frac{1}{yz + x - 8} + \frac{1}{zx + y - 8} $$b) Một chiếc hộp chứa 6 viên bi màu trắng được đánh số từ 1 đến 6, 7 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 7 và 8 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 8. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp. Tính xác suất để lấy được hai viên bi có màu khác nhau và số ghi trên hai viên bi đó cũng khác nhau.
a) Giải phương trình: $x^2 + (x + 2)\sqrt{2x - 1} - 8x - 6 = 0$.
b) Giải hệ phương trình:
$$ \begin{cases} y^3 - 2(x+2)y^2 + x^2 y = 2x^3 + 4x^2 & (1) \\ y^2 + (2x+4)\sqrt{12-2y} + x^2 + 5x + 10 = 0 & (2) \end{cases} $$Cho $m, n$ là hai số nguyên dương thỏa mãn $2m^2 + mn - 2n^2 + m + n = 0$.
a) Chứng minh rằng $m + n$ là số chính phương và $n$ chia hết cho 6.
b) Giả sử $n$ chỉ có đúng 2 ước nguyên tố. Chứng minh $n = 144$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ đồng quy tại $H$. Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ cắt đường thẳng $EF$ tại $I$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $J$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AH$.
a) Chứng minh $\frac{AI}{AJ} = \frac{EF}{BC}$.
b) Chứng minh $\Delta ADM \sim \Delta JAO$ và $IN \perp AM$.
c) Lấy $O'$ đối xứng với $O$ qua $M$. Chứng minh trạng thái tứ giác $DNIO'$ nội tiếp.
Cho 2026 số nguyên dương phân biệt lớn hơn 1 và nhỏ hơn $2^{45}$. Biết rằng mỗi số trong các số trên không có ước nguyên tố nào khác ngoài 2 và 3. Chứng minh rằng có thể chọn ra một vài số trong 2026 số trên sao cho tích của chúng là lũy thừa với số mũ 45 của một số nguyên dương.
─── HẾT ───