Số Carmichael đã trở thành một phần phổ biến trong văn hóa Toán học, nhưng có ít ai thảo luận về bằng cách nào số Carmichael ra đời. Ở bài viết này sẽ thảo luận về lịch sử phát triển của số Carmichael.
Một số nguyên $n > 1$ được gọi là số Carmichael nếu $n$ là hợp số và $(a, n) = 1$ suy ra $a^{n-1} \equiv 1 \pmod n$
Ví dụ: 561, 1105 là các số Carmichael.
Thuật ngữ "số Carmichael" được N.G.W.H Beeger đưa ra vào năm 1950 (Oysetein Ore đã gọi chúng là số $F$ vào năm 1948).
Bây giờ số Carmichael đã được định nghĩa, câu hỏi tiếp theo là sự hình thành và phát triển của loại số này là như thế nào?
Năm 1885, nhà toán học người Séc Vaclav Simerka đã tìm ra bảy số bao gồm 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911. Tuy nhiên các phát minh của ông không được chú ý đến.
Năm 1899, Korselt đưa ra tiêu chuẩn liên quan đến số Carmichael là "$n$ chia hết $a^n - a$ với mọi số nguyên $a$ nếu và chỉ nếu $n$ là số squarefree và $p - 1$ chia hết $n - 1$ với mọi số nguyên tố $p$ chia hết $n$".
Trong một chuỗi các bài báo ở năm 1910, Carmichael bắt đầu nghiên cứu sâu về hợp số với tính chất như định lý Fermat, được gọi là số Carmichael. Ở bài Note on a new number theory function, Carmichael đã chỉ ra 561 chia hết $a^{561} - a$ với mọi số nguyên $a$ và đây là số Carmichael đầu tiên và nhỏ nhất trong số các số Carmichael ở thời điểm hiện tại. Ở bài báo On composite number P which satisfy the Fermat congruence, ông đã trình bày một thuật toán để xây dựng các số như vậy và tuyên bố, có lẽ hơi lạc quan, rằng "danh sách này (các số Carmichael) có thể được mở rộng vô hạn."
Có lẽ điều ngược lại với Định lý Fermat nhỏ là "gần như đúng" và chỉ có một vài số Carmichael xác định được. Vào năm 1939, Chernick đã chỉ ra rằng nếu $6m + 1, 12m + 1, 18m + 1$ là các số nguyên tố với mọi số nguyên dương $m$, thì tích của ba số đó là một số Carmichael. Ví dụ, khi $m = 1$ chúng ta có các số nguyên tố 7, 13 và 19, vì vậy Chernick khẳng định rằng $1729 = 7 \times 13 \times 19$ là các số Carmichael, và dĩ nhiên nó là loại số đó.
Một hệ quả của giả thuyết về bộ $k$ phần tử nguyên tố trong Giải tích số học là có vô số các số nguyên $m$ sao cho $6m + 1, 12m + 1, 18m + 1$ là các số nguyên tố cùng nhau. Vì thế, giả thuyết và định lý Chernick cho ra kết quả có vô số số Carmichael. Mặc dù bản thân Carmichael đã khẳng định điều này là đúng ở năm 1912, có lẽ Chernick đã đưa "minh chứng" đầu tiên cho điều này.
Có lẽ các bạn cũng đã nghe qua giả thuyết bộ $k$ số nguyên tố. Điều này khẳng định rằng nếu $a_i, b_i$ là các số nguyên với $a_i > 0$ với mọi $i = 1, 2, \dots, k$ và nếu các số lượng lời giải của phương trình $$(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)\dots(a_kx + b_k) \equiv 0 \pmod p$$ không có lời giải nào nếu $p = 2$ hay $p = 3$ và dĩ nhiên với $p > 3$ nó có nhiều nhất 3, ít hơn $p$, là các lời giải. Do đó, giả thuyết bộ $k$ số nguyên tố khẳng định rằng Giả thuyết Chernick là luôn đúng và do đó có vô hạn số Carmichael.
Tuy nhiên, giả thuyết bộ $k$ số nguyên tố là vấn đề nan giải nổi tiếng. Đó là dạng tổng quát hóa của giả thuyết bộ đôi số nguyên tố, đó là một tình huống của hai biểu thức tuyến tính $x$ và $x + 2$. Mặc dù, định lý Chernick đã củng cố giả thuyết rằng có vô số số Carmichael, nhưng nó dường như không phải là một hướng tiếp cận đầy hứa hẹn.
Vào năm 1950, Beeger đã chứng minh rằng nếu $p < q < r$ là các số nguyên tố và $pqr$ là số Carmichael thì $q < 2p^2$ và $r < p^3$. Do đó, xác định được nhiều số Carmichael với ba thừa số nguyên tố với một trong các số nguyên tố đã cho. Duparc sau này đã khái quát hóa kết quả này để chứng minh nếu $n = mqr$ là một số Carmichael trong đó $q < r$ là các số nguyên tố. Khi đó $$1 \equiv n \equiv mqr \equiv mq \pmod{r - 1}, \quad 1 \equiv n \equiv nqr \equiv nq \pmod{q - 1},$$ sao cho $$C := \frac{mq - 1}{r - 1}, \quad D := \frac{mr - 1}{q - 1}$$ là các số nguyên với $1 \leq C < m < D$. Chúng ta có $$D(q - 1) = mr - 1 = m \left(\frac{mq - 1}{C} + 1\right) - 1$$ sao cho $$CD(q - 1) = m^2q - m + mC$$ Chúng ta kết luận rằng $$(CD - m^2)(q - 1) = m^2 - m + mC - C = (m + C)(m - 1) > 0$$ Vì thế $$q - 1 \leq (m + C)(m - 1) < m^2 + (C - 1)m \quad (1)$$ với $C < m$ chứng minh được $q < 2m^2$, từ (1), $$r - 1 = \frac{mq - 1}{C} < \frac{m^3 + (C - 1)m^2}{C} \leq m^3$$ sao cho $r < m^3$. Điều này kết thúc chứng minh của định lý Duparc.
Định lý Duparc gần đây được sử dụng bởi Pinch trong tính toán của ông với mọi số Carmichael lên đến $10^{15}$.
Paul Erdős lập luận rằng có vô số con số Carmichael. Năm 1994 W.R. (Red) Alford, Andrew Granville và Carl Pomerance sử dụng một giới hạn trên hằng số Olson để chỉ ra rằng thực sự tồn tại vô số số Carmichael. Cụ thể, họ đã cho thấy với số $n$ đủ lớn. Có ít nhất $n^{\frac{2}{7}}$ Carmichael số từ 1 đến $n$.
Löhw và Niebuhr năm 1992 đã tìm thấy một số Carmichael rất lớn, bao gồm một số có 1.101.518 thừa số và hơn 16 triệu chữ số. Điều này đã được thay đổi thành 10333229505 thừa số nguyên tố và 295486761787 chữ số, vì vậy số Carmichael lớn nhất đã biết lớn hơn nhiều so với số nguyên tố lớn nhất đã biết.
Năm 2013, Thomas Wright đã chứng minh rằng nếu $a$ và $m$ nguyên tố cùng nhau, thì có vô hạn số Carmichael có dạng $ak + m$ với $k \in \{1, 2, 3, \dots\}$
Do tất cả các số Carmichael đã làm cho Định lý Fermat nhỏ chúng ta biết đến ngày nay gặp phải sai sót nên chúng còn có tên gọi là số giả Fermat.
Bài viết đã chỉ ra định nghĩa, các ví dụ liên quan đến số Carmichael, quá trình phát triển cũng như một số các đóng góp tiêu biểu của các nhà toán học nổi tiếng trên thế giới. Cảm ơn các tác giả của tài liệu tham khảo đã cung cấp tư liệu làm nguồn để có được bài viết này.
─── HẾT ───