Môn thi: Toán học — Vòng 1
Câu lạc bộ Toán học, trường THPT chuyên Huỳnh Mẫn Đạt
Ngày thi: 13/08/2026 & 14/08/2026
Ngày thi: 13 tháng 08 năm 2026
Chứng minh rằng, dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_1 = 2$ và $$x_{n+1} = \frac{\sqrt{x_1 + 1} + \sqrt{x_2 + 1} + \dots + \sqrt{x_n + 1}}{n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*$$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Cho 99 cái đĩa xếp trên bàn tròn. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất, thoả mãn có thể chia $n$ viên kẹo vào các đĩa sao cho tổng số viên kẹo ở 20 đĩa liên tiếp bất kỳ luôn không ít hơn 25.
Cho đường tròn $(O)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Dựng hai tiếp tuyến $MA, MB$ của $(O)$ với $A, B$ là các tiếp điểm. Xét điểm $C$ thuộc $AM$, và điểm $D$ là giao điểm của $BC$ với $(O)$. Chứng minh rằng, nếu $D$ là trung điểm $BC$ thì $MD, MB$ theo thứ tự là tiếp tuyến của các đường tròn $(ACD)$ và $(MOD)$.
Cho số nguyên dương $a$. Chứng minh rằng, dãy số $(x_n)$ xác định bởi các hệ thức sau chỉ có hữu hạn số hạng là hợp số: $$x_1 = a; \quad \forall n \in \mathbb{N}^* : x_{n+1} = \min\{ s \in \mathbb{N}^* \mid s > x_n \land \gcd(s; x_1 \dots x_n) = 1 \}.$$
Ngày thi: 14 tháng 08 năm 2026
Tìm tất cả dãy số nguyên dương tăng $(f_n)$, thỏa mãn mệnh đề sau là đúng: $$\forall n \in \mathbb{N}^* : (f_{3n} = f_n + 2n) \land (f_n \in \mathbb{P} \Rightarrow n \in \mathbb{P}).$$
Cho bảng ô vuông $8 \times 8$. Kanaya, một cô gái thích những trò chơi, sẽ thực hiện các thao tác sau trên bảng ô vuông đó:
"Mỗi một lần thực hiện, cô ta sẽ tìm các ô vuông kề nhau với ít nhất hai ô chưa được tô màu; nếu có ô như thế cô ta chọn một trong các ô vuông thoả mãn điều kiện trên và tô màu nó, nếu không có ô nào như thế cô ta sẽ dừng thao tác."
Sau khi Kanaya thực hiện các thao tác như trên đến khi dừng, gọi $n$ là số ô vuông chưa tô màu trong bảng. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $n$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ có $BC$ là cạnh lớn nhất trong ba cạnh. Trên đoạn thẳng $BC$ lấy hai điểm $D, E$ thỏa mãn $\angle DAC = \angle ABC$ và $\angle EAB = \angle ACB$. Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm của $AD$ và $AE$. Đường tròn $(AMN)$ theo thứ tự cắt lại $AB, AC$ tại $P$ và $Q$. Gọi $T$ là giao điểm của $PM$ và $QN$. Chứng minh rằng, ba đường thẳng $AT, BN, CM$ đồng quy tại một điểm; và hơn nữa điểm này nằm trên đường nối tâm của hai đường tròn $(ABC)$ và $(ADE)$.
─── HẾT ───