Tải bản PDF

Câu 1 (5 điểm).

Đặt $M = 85!$ và xét đa thức $$P(x) = (x - (M + 1))(x - (M + 2)) \dots (x - (M + 85)) + M.$$

a) Chứng minh rằng $M$ là nghiệm thực duy nhất của phương trình $P(x) = 0$.

b) Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình $P(P(x)) = 0$.

Câu 2 (5 điểm).

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB < AC$, $H$ là trực tâm và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Đường thẳng đi qua $H$, song song với $AO$ theo thứ tự cắt $AB, AC$ tại $D, E$. Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$. Chứng minh rằng ba điểm $K, H, M$ thẳng hàng.

Câu 3 (5 điểm).

Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt: $f(n) = \text{lcm}(1, 2, \dots, n)$. Chứng minh rằng:

a) Với mọi số nguyên dương $n$ và mọi số nguyên tố $p$, số $\frac{f(2n)}{p^2 f(n)}$ không phải là số nguyên.

b) Với mọi số nguyên dương $n$, ta có: $\frac{f(n)}{n} \geq \max \left\{ C^k_{n-1} : k = 0, 1, \dots, n-1 \right\}$.

Câu 4 (5 điểm).

Cho ba chiếc hộp đựng các quả bóng giống hệt nhau. Số lượng bóng trong hộp thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt là 2025, 2026 và 2027. Tại mỗi hộp, các quả bóng được đánh số liên tiếp bắt đầu từ 1 cho đến hết.

a) Bạn An chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra đúng 1 quả bóng. Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 quả bóng được chọn đúng bằng 2027.

b) Giả sử An thực hiện trò chơi bốc bóng: mỗi lần bốc ra 3 quả bóng (mỗi hộp 1 quả) sao cho tổng 3 số ghi trên đó đúng bằng 2027, các quả bóng đã bốc ra sẽ không được trả lại vào hộp. Hỏi An có thể thực hiện tối đa bao nhiêu lần bốc như vậy?

─── HẾT ───