Secrets of Mathematical Principles
Ngày 11 tháng 8 năm 2026
Gọi $u, v$ lần lượt là nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất của phương trình $x^3 - 3x + 1 = 0$. Tìm số dư trong phép chia số $\lfloor u^{2022} + v^{2022} \rfloor$ cho 3.
Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $a_1 = 7$ và $a_{n+1} = a_n(3a_n - 2^{2n+1})$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng nếu $p$ là ước nguyên tố của $a_{2023}$ thì $p - 1$ chia hết cho 3.
Với $k$ nguyên dương, cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\begin{cases} u_1 = k, \\ u_{n+1} = \frac{(n + 2)u_n - 2k + 4}{n}, \quad \forall n \geq 1 \end{cases}$$ Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ để trong dãy số đã cho có đúng 2019 số hạng là số chính phương.
Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $a_1 = 0, a_2 = -4, a_3 = -6$ và $$a_{n+2} = 2a_n - 2a_{n-1}, \quad \text{với mọi } n \in \mathbb{Z}^+.$$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$ thì $p \mid a_p$.
Cho dãy số $\{u_n\}$ xác định bởi: $$\begin{cases} u_1 = 0, \quad u_2 = 1 \\ u_{n+2} = u_n + u_{n+1} + 1 \end{cases}$$ Chứng minh rằng: Nếu $p > 5$ là số nguyên tố thì $u_p(u_p + 1)$ chia hết cho $p$.
Cho dãy số thực $\{a_n\}$ được xác định bởi $a_0 = 1$ và $$a_{n+1} = \frac{1}{2} \left(a_n + \frac{1}{3a_n}\right) \quad \text{với mọi } n = 1, 2, \dots$$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, số $A_n = \frac{3}{3a_n^2 - 1}$ là một số chính phương và nó có ít nhất $n$ ước nguyên tố phân biệt.
─── HẾT ───