Secrets of Mathematical Principles
Ngày 12 tháng 8 năm 2026
1. Cho $a, b, c$ là ba số nguyên dương sao cho với mọi hoán vị $(x, y, z)$ của $(a, b, c)$, ta đều có: $$a + [y, z] = b + [z, x] = c + [x, y].$$ Chứng minh rằng $a = b = c$.
2. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $a, b, c$ sao cho tồn tại một hoán vị $(x, y, z)$ của $(a, b, c)$ thỏa mãn: $$a + [y, z] = b + [z, x] = c + [x, y].$$ (Ở đây $[m, n]$ ký hiệu bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên $m, n$.)
Cho $a, b$ là hai số thực dương sao cho $a + b$ và $ab$ đều là các số nguyên; hơn nữa $\lfloor a^3 + 3a^2 b \rfloor + \lfloor b^3 + 3ab^2 \rfloor$ là lập phương của một số nguyên dương. Chứng minh rằng $a$ và $b$ đều là các số nguyên (trong đó $\lfloor x \rfloor$ ký hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$).
Cho $a, k$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại số nguyên dương $m$ thỏa mãn hệ: $$\begin{cases} \left\lfloor \frac{n}{10^m} \right\rfloor \equiv 2024 \pmod{10^4} \\ a^{n+2025} \equiv 1 \pmod k \end{cases}$$ trong đó $\lfloor x \rfloor$ ký hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
Một số tự nhiên $n$ được gọi là một số đẹp nếu tồn tại các số tự nhiên $x, y, z$ sao cho $n = \text{lcm}(x, y) + \text{lcm}(y, z) + \text{lcm}(z, x)$, trong đó $\text{lcm}(a, b)$ ký hiệu bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b$.
1. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên lẻ đều là một số đẹp.
2. Chứng minh rằng $n = 2^{2017}$ không phải là một số đẹp.
Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên $a, b$ đồng thời thỏa mãn tất cả các điều kiện sau:
1. $16a - 9b$ là một số nguyên tố.
2. $ab$ là một số chính phương.
3. $a + b$ cũng là một số chính phương.
Chứng minh rằng có vô số số nguyên dương $n$ sao cho $n!$ chia hết cho $n^3 - 1$.
Cho $p, q$ là các số nguyên tố cho trước và dãy số $(p_n)_{n \geq 1}$ được xác định truy hồi như sau: $p_1 = p, p_2 = q$ và $p_{n+2}$ là ước nguyên tố lớn nhất của số $(p_n + p_{n+1} + 2016)$ với mọi $n \geq 1$. Chứng minh rằng dãy số này bị chặn, tức là tồn tại một số thực dương $M$ sao cho $p_n < M$ với mọi số nguyên dương $n$.
Với mỗi số nguyên dương $n$, chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $m$ sao cho $n$ là ước của $2016^m + m$.
Cho $x, y$ là hai số thực dương nhỏ hơn 1. Biết rằng $x$ là số có chữ số thứ $n$ sau dấu phẩy là chữ số thứ $n^n$ sau dấu phẩy của $y$, với $n = 1, 2, \dots$. Chứng minh rằng nếu $y$ là một số hữu tỉ thì $x$ cũng là một số hữu tỉ.
Cho $p$ là một số nguyên tố cho trước. Với mỗi số nguyên tố $r$, ta định nghĩa hàm số: $$F(r) = \frac{(p^{rp} - 1)(p - 1)}{(p^r - 1)(p^p - 1)}.$$
1. Chứng minh rằng $F(r)$ là một số nguyên dương với mọi số nguyên tố $r \neq p$.
2. Chứng minh rằng $F(r)$ và $F(s)$ nguyên tố cùng nhau với mọi cặp số nguyên tố $r, s$ thỏa mãn $r \neq p, s \neq p$ và $r \neq s$.
3. Với một số nguyên tố $r \neq p$ cố định. Chứng minh rằng tồn tại một ước nguyên tố $q$ của $F(r)$ sao cho $p \mid (q - 1)$ nhưng $p^2 \nmid (q - 1)$.
Cho $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại vô số cặp số nguyên dương $(a, b)$ với $a, b > n$ sao cho: $$\prod_{i=1}^{2015} (a + i) \mid b(b + 2016); \quad \prod_{i=1}^{2015} (a + i) \nmid b; \quad \prod_{i=1}^{2015} (a + i) \nmid (b + 2016).$$
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại một hoán vị $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ của $(1, 2, 3, \dots, n)$ thỏa mãn điều kiện: $$a_1 + a_2 + \dots + a_k \text{ chia hết cho } k \text{ với mỗi } k = 1, 2, 3, \dots, n.$$
Cho số nguyên $n \geq 4$. Giả sử có $n$ số nguyên dương được xếp trên một đường tròn sao cho:
1. Tích của hai số bất kỳ không kề nhau đều chia hết cho $2015 \cdot 2016$;
2. Tích của hai số bất kỳ kề nhau đều không chia hết cho $2015 \cdot 2016$.
Tìm giá trị lớn nhất có thể của $n$.
Cho $a$ là một số nguyên dương. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thỏa mãn tính chất sau: tồn tại đúng $p$ cặp có thứ tự $(x, y)$, với $0 \leq x, y \leq p - 1$, sao cho $p$ chia hết $y^2 - x^3 - a^2 x$.
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ không thể biểu diễn dưới dạng $n = \frac{2^a - 2^b}{2^c - 2^d}$ với $a, b, c, d$ là các số nguyên dương.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\varphi(n) \mid (n^2 + 3)$.
Xét một dãy số nguyên dương tăng nghiêm ngặt $(a_n)$ thỏa mãn:
1. Các số hạng trong dãy đôi một nguyên tố cùng nhau.
2. Tổng $\frac{1}{\sqrt{a_1 a_2}} + \frac{1}{\sqrt{a_2 a_3}} + \frac{1}{\sqrt{a_3 a_4}} + \dots$ là không bị chặn (phân kỳ).
Chứng minh rằng dãy số này chứa vô số số nguyên tố.
Cho $a, b, c$ là ba số nguyên dương phân biệt đôi một thỏa mãn $\gcd(a, b, c) = 1$ và: $$a \mid (b - c)^2, \quad b \mid (c - a)^2, \quad c \mid (a - b)^2.$$ Chứng minh rằng không tồn tại tam giác không suy biến nào có độ dài ba cạnh là $a, b, c$.
─── HẾT ───