Secrets of Mathematical Principles
Ngày 5 tháng 9 năm 2026
Cho $m, n$ là các số nguyên lẻ sao cho $(n^2 - 1)$ chia hết cho $m^2 + 1 - n^2$. Chứng minh rằng $|m^2 + 1 - n^2|$ là một số chính phương.
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ thỏa mãn: $$f(2m + f(m) + f(m)f(n)) = nf(m) + m$$ với mọi số nguyên $m, n$.
Cho $k$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $x, y$, trong đó không có số nào chia hết cho 7, sao cho $x^2 + 6y^2 = 7^k$.
Dãy số Fibonacci được xác định bởi: $$\begin{cases} f_1 = 1, \quad f_2 = 2, \\ f_{n+1} = f_n + f_{n-1}, \quad n \geq 2. \end{cases}$$
1. Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một số số Fibonacci đôi một phân biệt.
2. Một số nguyên dương được gọi là Fib-unique nếu cách biểu diễn nó dưới dạng tổng của một số số Fibonacci đôi một phân biệt là duy nhất.
Ví dụ: 13 không phải là Fib-unique vì $13 = 13 = 8 + 5 = 8 + 3 + 2$.
Tìm tất cả các số Fib-unique.
Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{3^{p-1} - 1}{p}$ là một số chính phương.
Giải phương trình sau trên tập các số nguyên dương $x, y$: $$x^{2017} - 1 = (x - 1)(y^{2015} - 1).$$
Chứng minh rằng chỉ có hữu hạn bộ bốn số nguyên dương $(a, b, c, n)$ thỏa mãn: $$n! = a^{n-1} + b^{n-1} + c^{n-1}.$$
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất sau: $k$ ước nguyên dương của $n$ có một hoán vị $(d_1, d_2, \dots, d_k)$ sao cho với mọi $i = 1, 2, \dots, k$, tổng $d_1 + d_2 + \dots + d_i$ là một số chính phương.
Gọi $a$ là nghiệm dương của phương trình $x + \frac{1}{x} = 675$. Chứng minh rằng: $$\varphi\left(2023(a^{2^n} + a^{-2^n})\right) > 2 \cdot \varphi\left(2022(a^{2^n} + a^{-2^n})\right)$$ với mọi $n \in \mathbb{Z}^+$.
Xét dãy số $(u_n)$ với $u_0 = 0, u_1 = 1$ và $$u_{n+2} = 2u_{n+1} + 2u_n, \quad \forall n \geq 0.$$ Chứng minh rằng với mọi $n \geq 1$, ta có $v_3(u_n) = v_3(n)$.
─── HẾT ───