Secrets of Mathematical Principles
Ngày 10 tháng 8 năm 2026
Tìm $u_n$ thoả mãn điều kiện: $$u_1 = 2, \quad u_{n+1} = u_n + 2n, \quad n \in \mathbb{N}^*.$$
Tìm $u_n$ thoả mãn điều kiện $$u_1 = 1, \quad u_{n+1} = 3u_n + 2^n, \quad n \in \mathbb{N}^*.$$
Tìm $u_n$ thoả mãn điều kiện $$u_1 = 1, \quad u_{n+1} = 2u_n + n^2 + 3 \cdot 2^n, \quad n \in \mathbb{N}^*.$$
Tìm $u_n$ thoả mãn điều kiện $$u_1 = 0, \quad u_2 = 0, \quad u_{n+1} = 2u_n + 3u_{n-1} + n + 2^n, \quad n \geq 2.$$
Mọi dãy số $(u_n)$ dạng $$u_{n+2} = \frac{a}{2} \cdot u_{n+1} + \frac{1}{2}\sqrt{(a^2 - 4) \cdot u_{n+1}^2 + 4c}$$ luôn có thể đưa về dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 dạng $u_{n+2} = au_{n+1} - u_n$, $\forall n \in \mathbb{N}^*$.
Xét dãy số $\{x_n\}$ được xác định bởi $$x_1 = 7, \quad x_2 = 50, \quad x_{n+1} = 4x_n + 5x_{n-1} - 1975 \quad (n \geq 2).$$ Chứng minh rằng $1997 \mid x_{1996}$.
Cho dãy $(a_n)$ thoả mãn $$\begin{cases} a_0 = 1, \quad a_1 = -1 \\ a_n = 6a_{n-1} + 5a_{n-2}, \quad \forall n \geq 2. \end{cases}$$ Chứng minh rằng $2011 \mid a_{2012} - 2010$.
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\begin{cases} u_0 = 20, \quad u_1 = 100 \\ u_{n+1} = 4u_n + 5u_{n-1} + 20, \quad \forall n \geq 1. \end{cases}$$ Tìm số nguyên dương $h$ bé nhất thoả mãn $1998 \mid u_{n+h} - u_n$ với mọi số nguyên dương $n$.
Chứng minh rằng $$\frac{(2 + \sqrt{3})^n - (2 - \sqrt{3})^n}{2\sqrt{3}} \in \mathbb{Z}, \quad \forall n \geq 0.$$
Cho dãy $(a_n)$ xác định bởi $$\begin{cases} a_0 = 2, \\ a_{n+1} = 4a_n + \sqrt{15a_n^2 - 60}, \quad \forall n \geq 1. \end{cases}$$ Chứng minh rằng số $\frac{1}{5} \cdot (a_{2n} + 8)$ có thể biểu diễn dưới dạng tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp.
Cho dãy số nguyên $(u_n) : u_1 = 2, u_2 = 7$ và $$-\frac{1}{2} < u_n - \frac{u_{n-1}^2}{u_{n-2}} \leq \frac{1}{2}.$$ Chứng minh rằng $u_n$ lẻ với mọi số nguyên dương $n \geq 1$.
Cho dãy nguyên dương $(u_n)$ : $$\begin{cases} u_0 = 1, \quad u_1 = 3, \\ u_{n+2} = 1 + \left\lfloor \frac{u_{n+1}^2}{u_n} \right\rfloor, \quad \forall n \geq 0. \end{cases}$$ Chứng minh rằng $u_{n+2}u_n = 2^n + u_{n+1}^2$, $\forall n \in \mathbb{N}$.
─── HẾT ───