Secrets of Mathematical Principles
Ngày 11 tháng 8 năm 2026
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi: $$\begin{cases} x_1 = 630, \quad x_2 = 102 \\ x_{n+2} = x_{n+1} + x_n + 2\sqrt{x_n \cdot x_{n+1} - 2}, \quad \forall n \geq 1 \end{cases}$$
1. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên dương.
2. Chứng minh có vô số số nguyên dương n sao cho $x_n$ có bốn chữ số tận cùng là 2003.
3. Chứng minh không tồn tại số nguyên dương n sao cho $x_n$ có bốn chữ số tận cùng là 2004.
Cho dãy số $(u_n)$ nguyên thỏa mãn $u_{n+2} = u_{n+1}^2 - u_n$ với mọi $n$ tự nhiên. Giả sử $u_0 = 39, u_1 = 45$. Chứng minh có vô hạn số hạng của dãy $(u_n)$ chia hết cho 1986.
Cho số nguyên tố lẻ $p$ và dãy số $(a_n)$ xác định bởi : $a_1 = 1, a_2 = 2$ và $$a_{n+2} = 2a_{n+1} + 3a_n, \quad \forall n \geq 1.$$ Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$ thì $a_n \not\equiv k \pmod p$.
Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ, xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $$\begin{cases} u_1 = a, \quad u_2 = b \quad (a, b \in \mathbb{Z}^+, p \nmid ab) \\ u_{n+1} = x u_n + y u_{n-1}, \quad \forall n \geq 2 \end{cases}$$
1. Chứng minh rằng: Dãy số $(u_n)$ có số dư tuần hoàn theo mod $p$.
2. Nếu $p \mid y a^2 + xab - b^2$, tìm chu kỳ cơ sở của dãy này.
Cho $k \in \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn: $\forall m \in \mathbb{Z}^+, \exists n \in \mathbb{Z}^+$ mà $k \equiv F_n \pmod m$. Với $(F_i)_{i\in\mathbb{N}}$ là dãy Fibonacci xác định bởi: $$\begin{cases} F_0 = 0, \quad F_1 = 1 \\ F_{n+2} = F_{n+1} + F_n, \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{cases}$$ Chứng minh rằng: $k$ là một số hạng của dãy Fibonacci.
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1 = 52$ và $u_{n+1} = u_n^2 + 9u_n$ với mọi $n \geq 1$.
1. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố $p$ sao cho $p$ là ước của ít nhất một số hạng nào đó của dãy $(u_n)$.
2. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy này đều không phải là số chính phương, nhưng tồn tại vô số số hạng của dãy khi chia cho $2^{2023}$ có số dư là số chính phương.
Cho dãy số nguyên dương $(x_n)$ thỏa mãn $0 \leq x_0 < x_1 \leq 100$ và $$x_{n+2} = 7x_{n+1} - x_n + 280, \quad \forall n \geq 0.$$
1. Chứng minh rằng nếu $x_0 = 2, x_1 = 3$ thì với mỗi số nguyên dương $n$, tổng các ước nguyên dương của $x_n x_{n+1} + x_{n+1} x_{n+2} + x_{n+2} x_{n+3} + 2018$ thì chia hết cho 24.
2. Tìm tất cả các cặp số $(x_0, x_1)$ để số $x_n x_{n+1} + 2019$ là số chính phương với vô số số $n$.
Cho các số nguyên $a, b, c, \alpha, \beta$ và dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$u_1 = \alpha, \quad u_2 = \beta, \quad u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n + c \quad \text{với mọi } n \geq 1.$$
1. Chứng minh rằng nếu $a = 3, b = -2, c = -1$ thì có vô số cặp số nguyên $(\alpha; \beta)$ để $u_{2023} = 2^{2022}$.
2. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n_0$ sao cho có duy nhất một trong hai khẳng định sau là đúng:
a) Có vô số số nguyên dương $m$ để $u_{n_0} u_{n_0+1} \dots u_{n_0+m}$ chia hết cho $7^{2023}$ hoặc $17^{2023}$;
b) Có vô số số nguyên dương $k$ để $u_{n_0} u_{n_0+1} \dots u_{n_0+k} - 1$ chia hết cho 2023.
─── HẾT ───