Tải bản PDF

Câu 1. (5,0 điểm)

a) Cho biết rằng đa thức $P(x) = x^3 + x^2 - 2x - 1$ có ba nghiệm thực $a > b > c$ với $c^2 > a^2 > b^2$. Chứng minh rằng $P(x)$ có một nghiệm bằng $a^2 - 2$ và $a^2 - b = b^2 - c = c^2 - a = 2$.

b) Cho các số thực phân biệt $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $a^2 - b = b^2 - c = c^2 - a$. Chứng minh rằng $(a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1) = -1$ và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = ab + bc + ca$.

Câu 2. (5,0 điểm)

Với các số nguyên dương $a, b$ và $a > 1$, đặt $f(n) = a^n - n^b$ với $n \in \mathbb{N}^*$.

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p > a$, luôn tồn tại vô số số $n \in \mathbb{N}^*$ để $p \mid f(n)$.

b) Tìm tất cả các cặp $(a, b)$ sao cho $f(n) \neq 0, f(n) \mid 2026^n - n^{2027}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ và $n > 2026^{2027}$.

Câu 3. (5,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân và có các đường phân giác trong $BE, CF$ cắt nhau tại $I$ ($E \in AC, F \in AB$). Đoạn thẳng $AI, EF$ cắt nhau tại $D$. Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm của $DB, DC$. Đường thẳng $MN$ theo thứ tự cắt các đoạn thẳng $BA, BE, CF, CA$ tại $P, R, S, Q$.

a) Chứng minh: $M$ là trung điểm của $PR$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DRS$.

b) Chứng minh: đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $APQ, IRS, DRQ, DSP$ cùng đi qua một điểm $T$, đồng thời nếu $T \in BC$ thì $AB + AC = 2 \cdot BC$.

Câu 4. (5,0 điểm)

Bảng $21 \times 24$ (21 hàng, 24 cột) được chia thành $21 \times 24$ ô vuông đơn vị. Người ta muốn tô một số ô vuông đơn vị của bảng bởi một trong các màu: xanh, đỏ, vàng (có thể có vài ô vuông đơn vị không được tô màu) sao cho hai điều kiện (i) và (ii) dưới đây đồng thời xảy ra:

(i) Trong các ô vuông đơn vị cùng hàng với mỗi ô vuông đơn vị được tô màu, có không quá 1 ô khác màu với ô đó;

(ii) Trong các ô vuông đơn vị cùng cột với mỗi ô vuông đơn vị được tô màu, có không quá 1 ô khác màu với ô đó.

a) Gọi $x_1, x_2$ theo thứ tự là số hàng, số cột của bảng mà trên mỗi hàng/cột đó có ít nhất 2 ô vuông đơn vị tô xanh; $d_1, d_2$ theo thứ tự là số hàng, số cột của bảng mà trên mỗi hàng/cột đó có ít nhất 2 ô vuông đơn vị được tô đỏ; $v_1, v_2$ theo thứ tự là số hàng, số cột của bảng mà trên mỗi hàng/cột đó có ít nhất 2 ô vuông đơn vị được tô vàng. Chứng minh rằng: $$x_1 + x_2 + d_1 + d_2 + v_1 + v_2 \le 45.$$

b) Gọi $x, d, v$ theo thứ tự là số ô vuông đơn vị được tô bởi các màu xanh, đỏ, vàng và đặt $m = \min\{x, d, v\}$. Tìm giá trị lớn nhất của $m$.

─── HẾT ───