Trường hè Toán học Đà Nẵng năm 2026
Thời gian làm bài: 180 phút mỗi ngày | Ngày thi: 08/08/2026 & 09/08/2026
Sáng ngày 08 tháng 08 năm 2026
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương $(m, n)$ của phương trình $$3^m + n^3 + 6 = m(m + 1)(m + 2) \dots (m + n - 1).$$
Các số thực $a_0, a_1, a_2, \dots, a_{100}$, $b_0, b_1, b_2, \dots, b_{100}$, $c_0, c_1, c_2, \dots, c_{99}$ thỏa mãn các điều kiện sau: $a_0 = b_0 = 0$ và với mọi $i = 0, 1, 2, \dots, 99$ thì $$a_{i+1} = \frac{3a_i + 4b_i - 5c_i}{5} \quad \text{và} \quad b_{i+1} = \frac{-4a_i + 3b_i + 5c_i}{5}.$$ Biết rằng $a_{100}b_{100} \le -1$. Hỏi giá trị của $$|c_0| + |c_1| + \dots + |c_{99}|$$ nhỏ nhất có thể bằng bao nhiêu?
An và Bình chơi trò chơi sau đây trên một bàn cờ gồm 2 hàng và $n$ cột. Đầu tiên, An xếp $n$ quân tốt trắng và $n$ quân tốt đen lên các ô của bàn cờ, mỗi ô đúng một quân. Mục tiêu của Bình là xếp lại các quân cờ sao cho tất cả các quân màu trắng nằm ở hàng dưới và các quân màu đen nằm ở hàng trên. Bình được quyền xếp lại các quân cờ theo quy tắc sau: mỗi bước, Bình được phép thực hiện một trong hai thao tác sau:
• Đổi chỗ hai quân cờ cạnh nhau ở hàng dưới của bảng.
• Đổi chỗ hai quân cờ nằm trên cùng một cột.
a) Chứng minh rằng An có cách xếp các quân cờ sao cho Bình cần ít nhất $$\left\lceil \left(\frac{n+1}{2}\right)^2 \right\rceil$$ bước để có thể đạt được mục tiêu của mình.
b) Chứng minh rằng với mọi cách xếp của An, Bình có thể đạt được mục tiêu của mình với số bước không quá $$\left\lceil \left(\frac{n+1}{2}\right)^2 \right\rceil.$$
Tối ngày 09 tháng 08 năm 2026
Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại điểm $K$ khác $A$. Đường thẳng $AK$ cắt $BC$ tại $Z$.
a) Chứng minh rằng $ZI$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp của tam giác $AEF$.
b) Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $X$ và cắt $AK$ tại $Y$. Gọi $M$ là trung điểm của $XZ$. Từ $Z$ kẻ tiếp tuyến $ZP$ với đường tròn $(I)$, trong đó $P \neq D$ là tiếp điểm. Đường thẳng $KP$ cắt $AD$ tại $Q$. Chứng minh rằng $MY \perp IQ$.
Cho một xâu nhị phân có độ dài lẻ và chứa một số lẻ chữ số 1. Xét tất cả các xâu con liên tiếp của xâu đã cho mà số chữ số 1 trong xâu con là số lẻ. Tìm giá trị lớn nhất có thể của số lượng các xâu con như vậy.
Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $$a_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor.$$
a) Chứng minh rằng $n(a_n - a_{n-1})$ là một số nguyên.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $a_n - \frac{1}{2}$ là một số nguyên.
─── HẾT ───