Trường hè Toán phổ thông Vinh năm 2026
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày 21 tháng 6 năm 2026
Xét các hàm số $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn $f(0) = g(0) = 0$ và với mọi $x, y \in \mathbb{R}$ thì $$ \begin{cases} f(g(x^3) - g(y)) = f(x^2 f(x)) - y \\ g(f(x^3) - f(y)) = g(x^2 f(x)) - y \end{cases} $$ Chứng minh rằng $f(x+y) = f(x) + f(y)$ với mọi $x, y \in \mathbb{R}$.
Xét số nguyên dương $a$ thoả mãn điều kiện: tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho số $26n^2 + an + 1$ có một ước dương nào đó khác $1$ và chính nó, đồng thời ước đó chia $n$ dư $1$. Ta gọi các số $n$ như trên là "đặc biệt" và ước dương tương ứng thoả mãn là ước "đẹp".
a) Chứng minh rằng với số $n$ đặc biệt mà $n \ge a$ thì các ước đẹp đều không vượt quá $26n + 1$.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $a$ thoả mãn điều kiện.
Cho số nguyên dương $n \ge 2$. Xét $a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ là một hoán vị bất kỳ của tập hợp các số nguyên $\{1, 2, \ldots, n\}$.
a) Chứng minh rằng $|a_2 - a_1| + |a_3 - a_2| + \dots + |a_n - a_{n-1}| + |a_1 - a_n| \ge 2n - 2$.
b) Có bao nhiêu hoán vị $a$ để dấu đẳng thức xảy ra?
Xét số thực $k > 0$. Giả sử $f: [0; +\infty) \to [0; +\infty)$ là hàm liên tục trên $[0; +\infty)$ và $f(0) > 0$ sao cho với bất kỳ $0 \le x < y$ ta có $k(x-y) < f(y) - f(x) \le 0$. Tìm giá trị lớn nhất của $k$ để mọi dãy số $(x_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi $x_1 \ge 0, x_{n+1} = f(x_n), \forall n \ge 1$ đều có giới hạn hữu hạn.
Ngày 22 tháng 6 năm 2026
Cho $x_1, x_2, \ldots, x_{2026}$ là $2026$ số thực dương. Ở mỗi bước, ta được phép chọn tuỳ ý hai số $x$ và $y$ trong tập hiện tại rồi thay thế chúng bằng một số $z$ được xác định bởi $$ z = 2\min\{x, y\} + \|x-y\|. $$ Giả sử với mọi cách thực hiện dãy phép toán, số cuối cùng thu được sau $2025$ bước luôn bằng tổng của $2026$ số ban đầu. Chứng minh rằng tất cả các số ban đầu $x_1, x_2, \ldots, x_{2026}$ đều là các số nguyên.
Cho tam giác $ABC$ không cân ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Điểm $M$ thay đổi trên đường tròn đường kính $AI$ ($M \ne I, A$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CIM$ cắt lại $BC$ tại $D$.
a) Gọi $(I_b)$ là đường tròn bàng tiếp góc $B$ của tam giác $ABC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $I_b CD$ cắt lại $CI$ tại điểm $X$ ($X \ne I$). Chứng minh rằng $AX$ song song với $MI$.
b) Đường thẳng $AX$ cắt đường thẳng $BI$ tại $Y$, đường thẳng $MI$ cắt đường thẳng $BC$ tại $K$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $IXY$. Chứng minh rằng $KH$ đi qua một điểm cố định khi $M$ thay đổi.
Cho bảng ô vuông cỡ $n \times n$ trong đó các hàng được đánh số lần lượt từ trên xuống dưới và các cột được đánh số lần lượt từ trái qua phải. Một ô ở hàng $i$, cột $j$ được gọi là ô $(i, j)$.
Mỗi ô của bảng được tô một trong hai màu đen hoặc trắng sao cho mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều chứa ít nhất một ô đen. Ở đây, một đường chéo là tập các ô $(i, j)$ mà $i+j$ hoặc $i-j$ là hằng số (có $2n - 1$ đường chéo theo hướng Tây Bắc - Đông Nam và $2n - 1$ đường chéo theo hướng Đông Bắc - Tây Nam).
Hỏi số ô đen ít nhất có thể là bao nhiêu trong mỗi trường hợp sau:
a) $n=8$.
b) $n=9$.
─── HẾT ───