Tìm giá trị lớn nhất của $v_2(a^2+2a+9)$ với $a$ là số nguyên dương.
Cho các số nguyên dương $a, b, c$ thỏa mãn $\gcd(a, b, c)=1$ và $$a \mid bc,\quad b \mid ac,\quad c\mid ab.$$ Chứng minh rằng: $\frac{bc}{a}$ là số chính phương.
Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho với mọi số nguyên dương $a, b, c$ thỏa mãn $a \mid b^4, b \mid c^4, c \mid a^4$ thì $$abc \mid (a+b+c)^n.$$
Cho $a, b, c$ là 3 số nguyên dương thỏa mãn điều kiện \[ c(ca+1)^2=(2c+b) \cdot (3c+b). \] Chứng minh rằng: $c$ là số chính phương.
Cho 3 số nguyên $a, b, c$ thỏa \[ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = 3. \] Chứng minh rằng $abc$ là lập phương của một số nguyên.
Cho các số nguyên dương lẻ $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh của tam giác sao cho $\gcd(a,b,c)=1$ và thỏa mãn: $$\dfrac{a^2+b^2-c^2}{a+b-c}, \quad\dfrac{b^2+c^2-a^2}{b+c-a}, \quad\dfrac{c^2+a^2-b^2}{c+a-b}$$ là các số nguyên. Chứng minh rằng: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ là số chính phương.
Cho $a_1, a_2, \ldots$ là dãy vô hạn các số nguyên dương. Giả sử rằng tồn tại số nguyên dương $N$ đủ lớn để $$\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_3}+\ldots + \dfrac{a_n}{a_1}$$ là số nguyên với mọi $n \geq N$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$ thì $v_p(a_n)$ nằm giữa $v_p(a_{n-1})$ và $v_p(a_1)$. Từ đó suy ra $(a_n)$ là dãy dừng.
Cho $q$ là số nguyên tố lẻ và đặt $$A = (2q)^{2q}+(2q)!+((2q)!)^{2q}$$ Chứng minh rằng $A$ có 1 ước nguyên tố $p > 2q$.
Cho các số nguyên dương $a,\,b$ thỏa mãn $$a\mid b^2,\quad b^3\mid a^4,\quad a^5\mid b^6,\quad b^7\mid a^8,\quad a^9\mid b^{10}, \quad\ldots$$ Chứng minh rằng $a=b$.
Số hữu tỷ $r$ là số tốt nếu $r$ có thể viết dưới dạng $\frac{x^k}{y}$ với $x,y$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và $k>1$ là số nguyên dương. Gọi $a,b,c$ là các số hữu tỷ dương sao cho $abc=1$. Giả sử tồn tại các số nguyên dương $m,n,k$ sao cho $a^m+b^n+c^k$ là một số nguyên. Chứng minh rằng $a,b,c$ đều là số tốt.
─── HẾT ───