VIASM - Viện Nghiên cứu Cao cấp về Toán
Kiểm tra Giai đoạn I | Thời gian làm bài: 180 phút/ngày
Ngày 6 tháng 6 năm 2026
Xét tam giác $ABC$ nhọn, không cân, và thoả mãn $AB < AC$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$ đồng quy tại $H$. Gọi $K$ là điểm đối xứng với $H$ qua đường thẳng $EF$. Giả sử rằng các tiếp tuyến tại $D$ và $K$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $DHK$ cắt nhau tại $S$.
a) Chứng minh rằng $S, O, H$ thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng $\dfrac{SH}{SO} = \dfrac{DH}{DA}$.
Nhắc lại rằng một hoán vị $\sigma$ của tập hợp $\{1, 2, \ldots, 7\}$ là một song ánh từ $\{1, 2, \ldots, 7\}$ vào chính nó. Với mỗi hoán vị $\sigma$, cặp số nguyên $(i, j)$ được gọi là một nghịch thế của $\sigma$ nếu $1 \le i < j \le n$ và $\sigma(i) > \sigma(j)$.
a) Liệt kê tất cả các hoán vị $\sigma$ có đúng $20$ nghịch thế.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên $k$ sao cho tồn tại một hoán vị $\sigma$ có đúng $k$ nghịch thế.
Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện sau: $$f(x - 3f(y)) = f(x + f(y) + y^5) + f(4f(y) + y^5) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.$$
Ngày 7 tháng 6 năm 2026
Cho hai số nguyên dương $r < s$. Xét các đa thức $$P(x) = a_{100}x^{100} + a_{99}x^{99} + \cdots + a_1x + a_0$$ với $a_0, a_1, \ldots, a_{100}$ là các số nguyên khác $0$, đồng thời $P(r) = P(s) = 0$.
a) Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một chỉ số $0 \le k \le 100$ để $a_k \le -s$.
b) Giả sử rằng $r = 100$ và $s = 101$. Hãy xây dựng một đa thức $P(x)$ thoả mãn điều kiện sau: tồn tại đúng một chỉ số $0 \le k \le 100$ để $a_k = -s$, đồng thời $a_l > -s$ với mọi $l \ne k$.
Xét $p$ là số nguyên tố thoả mãn $p \equiv 1 \pmod{3}$.
a) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $a$ để $a^2 + a + 1$ chia hết cho $p$.
b) Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên dương $a$ để $(a + 1)^p - a^p - 1$ chia hết cho $p^2$.
Xét một bảng ô vuông kích thước $10 \times 10$, gồm $10$ hàng và $10$ cột. Một số ô vuông đơn vị của bảng được tô màu. Với hai số nguyên dương $a, b \le 10$, ta gọi một bảng con kích thước $a \times b$ là một hình chữ nhật gồm $a$ hàng liên tiếp và $b$ cột liên tiếp của bảng đã cho. Hãy xác định số ô được tô màu ít nhất có thể trong mỗi trường hợp sau:
a) Mọi bảng con kích thước $3 \times 10$ đều chứa ít nhất $15$ ô được tô màu.
b) Mọi bảng con kích thước $3 \times 10$ và mọi bảng con kích thước $10 \times 3$ đều chứa ít nhất $15$ ô được tô màu.
─── HẾT ───