VIASM - Viện Nghiên cứu Cao cấp về Toán
Kiểm tra Giai đoạn I | Thời gian làm bài: 180 phút/ngày
Ngày 6 tháng 6 năm 2026
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn ngoại tiếp $(J)$ của tam giác $BOC$ lần lượt cắt lại đường thẳng $AC$ tại $E$ ($E$ khác $C$) và cắt đường tròn đường kính $AO$ tại $M$ ($M$ khác $A$). Đường tròn $\omega$ tiếp xúc với $BC$ tại $B$ và đi qua $M$. Chứng minh rằng các đường tròn $\omega$ và $(J)$ có một tiếp tuyến chung đi qua $E$.
Cho số nguyên $n \ge 2$. An và Bình chơi trò chơi bốc sỏi từ một đống sỏi có $n$ viên với luật chơi như sau. Hai người luân phiên nhau bốc sỏi, An là người bốc trước tiên. Ở lượt đầu tiên của mình, mỗi bạn bốc lấy đúng một viên sỏi. Ở các lượt tiếp theo của trò chơi, nếu người đến lượt chơi là $X$, và trong các lượt chơi trước đó của mình $X$ đã từng bốc lấy nhiều nhất là $k$ viên sỏi, thì $X$ bốc lấy một lượng sỏi là một số nguyên dương không vượt quá $2k$ ở lượt hiện tại của mình. Người nào không lấy được sỏi nữa là người thua cuộc. Hỏi với những giá trị nào của $n$ thì Bình có chiến lược thắng cuộc?
Cho số nguyên tố $p$ và các số nguyên dương $a_1, a_2, \ldots, a_{2026}$ không chia hết cho $p$. Chứng minh tồn tại số phức $z$ thoả mãn $|z| = 1$ và $$ \left| \prod_{k=1}^{2026} (1 - z^{a_k}) \right| \ge p^{\frac{2026}{p-1}}. $$
Ngày 7 tháng 6 năm 2026
Cho số nguyên $n > 1$ và các số thực dương $x_1, x_2, \ldots, x_n$ thoả mãn $$ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i + 1} = 1. $$ Chứng minh rằng với mọi số thực $\alpha > 1$, ta có bất đẳng thức $$ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i^\alpha + 1} \ge \frac{n}{(n-1)^\alpha + 1}. $$
Xét $p$ là số nguyên tố thoả mãn $p \equiv 1 \pmod{3}$.
a) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $a$ để $a^2 + a + 1$ chia hết cho $p$.
b) Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên dương $a$ để $(a + 1)^p - a^p - 1$ chia hết cho $p^2$.
Cho tam giác $ABC$ có đường đối trung $AD$, với $D$ nằm trên $BC$. Đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với $BC$ cắt $CA, AB$ tương ứng tại $E, F$. Gọi $K$ là giao điểm của $BE, CF$ và $L$ là trực tâm tam giác $KBC$. Chứng minh rằng $\angle KAL = 90^\circ$.
Lưu ý: $AD$ là đường đối trung của tam giác $ABC$ nghĩa là nếu $M$ là trung điểm $BC$ thì $\angle DAB = \angle MAC$ và $D$ nằm trên $BC$.
─── HẾT ───