Tuyển tập và phân loại các bài toán Phương trình, Hệ phương trình và Hình học giải tích từ các kỳ thi chọn đội tuyển HSGQG năm học 2026 - 2027
a) Giải phương trình:
$$\sqrt{(x-3)(x+5)} + \sqrt{x-3} + \sqrt{x+5} = \dfrac{10 - x}{2} + \sqrt{x + 12}.$$b) Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases} x^3 - x^2 y = x^2 - x + y + 1, \\ 5\sqrt{x+2} + \sqrt{y+3} = 3x^2 - y + 1. \end{cases}$$Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P): y^2 = 4x$. Gọi $M$ là điểm di động trên $(P)$, $T$ là điểm trên $(P)$ sao cho $OT \perp OM$ ($M$ và $T$ đều không trùng với $O$). Chứng minh rằng khi $M$ di động trên $(P)$ thì đường thẳng $MT$ luôn đi qua một điểm cố định và đồng thời trung điểm của đoạn thẳng $MT$ luôn chạy trên một parabol cố định.