Số Học Trong Đề VIMONI 2026

Tham khảo nguyên bản đề thi tại: Đề VIMONI Khối 10 và Đề VIMONI Khối 11.

VIMONI 2026 - P5

Xét \( p \) là số nguyên tố thoả mãn \( p \equiv 1 \pmod{3} \).

1. a. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên \( a \) để \( a^2 + a + 1 \) chia hết cho \( p \).
2. b. Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên dương \( a \) để \( (a + 1)^p - a^p - 1 \) chia hết cho \( p^2 \).

Lời Giải

1. a. Đặt \(p = 3k+1, k \in \mathbb{N}^*\). Xét phương trình \(f(x) = x^k - 1\).

   Ta chứng minh tồn tại \(x = x_0\) để \(p \nmid f(x_0)\). Giả sử phản chứng rằng

   \[ p \mid f(x) , \forall x \in \mathbb{Z} \iff p \mid x^k - 1, \forall x \in \mathbb{Z}. \]

   Theo định lý Lagrange, đa thức \(f\) có không quá \(k\) nghiệm theo modulo \(p\) (điều này mâu thuẫn). Do vậy, tồn tại \(x_0: p \mid x_0^k - 1\). Theo định lý Fermat thì

   \[ p \mid x_0^{p-1} - 1 = x_0^{3k} - 1 = (x_0^k - 1) \cdot (x_0^{2k} + x_0^k + 1) \quad \Longrightarrow p \mid (x_0^{2k} + x_0^k + 1). \]

   Đặt \(x_0^k = a\) chính là số cần tìm.

   Một cách khác
   Vì: \[ \left( \frac{-3}{p} \right) = \left( \frac{-1}{p} \right) \left( \frac{3}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} \left( \frac{p}{3} \right) (-1)^{\frac{p-1}{2}} = (-1)^{p-1} = 1. \] \(\Rightarrow \exists x \in \mathbb{Z}: x^2 \equiv -3 \pmod{p} \).
   
   Mặt khác trong hai số \( x \) và \( x + p \) có 1 số lẻ nên tồn tại số nguyên \( k \) để \( (2a + 1)^2 \equiv -3 \pmod{p} \), khai triển hằng đẳng thức ta có điều phải chứng minh.

2. b. Theo nhị thức Newton thì

   \[ (a + 1)^p - a^p - 1 = \sum_{i = 0}^p \binom{p}{i} \cdot a^{p-i} -a^p - 1 = \sum_{i = 1}^{p-1} \binom{p}{i} \cdot a^{p-i} \] \[ \Longrightarrow \frac{(a + 1)^p - a^p - 1}{p} = \frac{1}{p} \cdot \left(\sum_{i = 1}^{p-1} \binom{p}{i} \cdot a^{p-i}\right) = \sum_{i = 1}^{p-1} \binom{p - 1}{i - 1} \cdot a^{p-i} \cdot i. \]

   Ta chọn \(a = p\) thì

   \[ \binom{p - 1}{i - 1} \cdot a^{p-i} \cdot i \; \vdots \;p \quad \Longrightarrow \sum_{i = 1}^{p-1} \binom{p - 1}{i - 1} \cdot a^{p-i} \cdot i \;\vdots \; p,\] đó cũng là số \(a\) ta cần tìm.

─── HẾT ───