Cho $n$ là số nguyên dương có căn nguyên thủy. Chứng minh rằng $$\prod_{(a,n)=1} a \equiv -1 \pmod n.$$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \geq 4$ thì số Fermat thứ $n$ $F_n = 2^{2^n} + 1$ có một ước nguyên tố $2^{n+2} \mid p - 1$. Khi đó chỉ ra rằng có một ước nguyên tố lớn hơn $(n + 2) \cdot 2^{n+4}$.
Cho số nguyên tố $p \equiv 3 \pmod 4$. Giả sử rằng $a$ là căn nguyên thuỷ theo modulo $p$ để $p \mid a^2 - a - 1$. Chứng minh rằng $a - 2$ cũng là căn nguyên thuỷ theo modulo $p$.
Cho $p, q$ là hai số nguyên tố lẻ sao cho $p = 2q + 1$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $2 \leq a \leq q$ thì $-a^2$ luôn là căn nguyên thuỷ theo modulo $p$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho $$S_k = 1^k + \cdots + (p - 1)^k$$ chia hết cho $p$.
Cho $k \in \mathbb{Z}^+$ và $a \in \mathbb{Z}, (a, p) = 1$. Giả sử $d = (k, p - 1)$. Khi đó phương trình $$x^k \equiv a \pmod p$$ có nghiệm khi và chỉ khi $a^{\frac{p-1}{d}} \equiv 1 \pmod p$
Tìm tất cả các số nguyên $n > 1$ sao cho tồn tại duy nhất số nguyên dương $a$ với $0 < a < n!$ thỏa mãn: $$a^n + 1 \equiv 0 \pmod{n!}$$
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $r$ nhỏ hơn $59$ đều tồn tại duy nhất số nguyên dương $n$ nhỏ hơn $59$ sao cho $2^n - r$ chia hết cho $59$
Cho $p$ là số nguyên tố lẻ và đặt $S = \{n_1, \dots, n_k\}$ là một tập hợp bất kỳ của các số chính phương nguyên tố cùng nhau với $p$. Tìm số $k$ nhỏ nhất để tồn tại một tập con $A$ của $S$ thỏa mãn tích các phần tử của $A$ đồng dư $1$ với mod $p$.
Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $m$ thỏa mãn $$\begin{cases} 2^m \equiv 2024 \pmod{3^n}, \\ 2^m \equiv 2024^{2025} \pmod{5^n}. \end{cases}$$
Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Gọi $a_1, a_2, \dots, a_{p-1}$ là tất cả các ước nguyên dương nhỏ hơn $p$. Chứng minh tồn tại một hoán vị $p - 1$ số là $b_1, b_2, \dots, b_{p-1}$ sao cho $$a_1^{b_1} + a_2^{b_2} + \dots + a_{p-1}^{b_{p-1}}$$ là bội của $p$.
Với mỗi số nguyên dương $k$, đặt $S_k = 1^k + 2^k + \dots + 2024^k$.
1. Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương $k$ không vượt quá $2025$ sao cho $2025^2 \mid S_k$?
2. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại $k$ nguyên dương để $p \mid S_k$.
─── HẾT ───