Với mỗi $p \in \mathcal{P}$, ta định nghĩa đa thức $$f_p(x) = x^{p-1} + x^{p-2} + \dots + x + 1.$$
1. Nếu $p \mid m$, chứng minh rằng với mọi $q$ là ước nguyên tố của $f_p(m)$ thì ta đều có $\gcd( q, m \cdot (m - 1) ) = 1$.
2. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố có dạng $pk + 1$, với $k \in \mathbb{Z}$.
Tìm tất cả số nguyên tố $p$ sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên dương $x, y$ $$x^{p-1} + x^{p-2} + \dots + x + 2 = y^3.$$
Cho hai số nguyên tố $p, q$ thỏa mãn $q = 2p + 1$. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $m \;\vdots\; p$ và $S(m) < 4$.
Cho $p \in \mathcal{P}$ là ước của $a^{2^k} + 1$ 1. Chứng minh rằng $p - 1 \;\vdots\; 2^{k+1}$.
1 trong trường hợp $a = 2$ thì đó là số Fermat thứ $k$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$ thì $k \nmid 2^{k-1} + 1$.
Cho $a, b, c$ thỏa phương trình $a^b + 1 = c$. Chứng minh rằng không tồn tại hai ước $u, v (u > v)$ của $c$ sao cho $u, v$ cùng tính chẵn lẻ và $u - v \mid b$.
Tồn tại hay không các số nguyên dương phân biệt $a_1, \dots, a_n$ thỏa $$a_1 \mid 2^{a_2} - 1, \quad a_2 \mid 2^{a_3} - 1, \quad \dots, \quad a_n \mid 2^{a_1} - 1.$$
Tìm hai số nguyên dương $m, n$ sao cho $$n \mid 1 + m^{3^n} + m^{2 \cdot 3^n}.$$
Tồn tại hay không bộ số $(p, q) \in \mathcal{P}^2$ sao cho $$2^{p-1} \equiv 1 \pmod q, \quad 2^{q-1} \equiv 1 \pmod p.$$
─── HẾT ───