Chứng minh rằng: $n \mid \varphi(a^n - 1)$ với mọi $a, n \in \mathbb{N}^*, a \geq 2$.
Cho hai số nguyên dương $a, b$ nguyên tố cùng nhau. Đặt $A = a^{2^n} + b^{2^n}$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng mọi ước lẻ của $A$ có dạng $2^{n+1}k + 1$ trong đó $k$ là số nguyên dương.
Ta xét số nguyên tố $p$ là ước của $F_n = 2^{2^n} + 1$, với $n \ge 3$. Khi đó tương tự như trên ta thu được $2^{n + 1} \mid p - 1$, tuy nhiên ta còn có thể thu được một kết quả mạnh hơn, đó là $2^{n + 2} \mid p - 1$.
Các bạn hãy thử tự chứng minh kết quả này như một bài tập, ở đây mình xin gợi ý để nâng bậc như sau: Chỉ ra số nguyên $u$ sao cho $u^2 \equiv 2 \pmod{p}$.
Có bao nhiêu số nguyên dương chia hết cho 1001 có thể biểu diễn được dưới dạng $10^j - 10^i$ với $0 \leq i < j \leq 99$.
Cho $p$ là số nguyên tố lẻ, $q$ và $r$ là các số nguyên tố thỏa mãn $$p \mid q^r + 1.$$ Chứng minh rằng: $2r \mid p - 1$ hoặc $p \mid q^2 - 1$.
Tìm tất cả các bộ $(b, q, r)$ nguyên tố thỏa mãn $$p \mid q^r + 1, \quad q \mid r^p + 1, \quad r \mid p^q + 1$$
Tìm tất cả các số nguyên tố $p, q$ sao cho $$\begin{cases} p^2 + 1 \mid 2003^q + 1 \\ q^2 + 1 \mid 2003^p + 1 \end{cases}$$
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$ thì $$2^{n(n+1)} \mid 32\varphi(2^{2^n} - 1)$$
Cho $x, y$ là hai số nguyên dương thỏa mãn $x^{2^n} - 1$ chia hết cho $2^ny + 1$ với mọi $n$ nguyên dương. Chứng minh rằng $x = 1$.
Cho $m, n \in \mathbb{N}$ với $n > m \geq 1$. Trong cách viết thập phân, ba chữ số cuối cùng của số $1978^m$ theo thứ tự bằng ba chữ số cuối cùng của $1978^n$. Tìm các số $m$ và $n$ sao cho tổng $m + n$ có giá trị nhỏ nhất.
Với các số nguyên $a, b$ nguyên tố cùng nhau và $a > b > 1$, xét dãy số sau $$u_n = \varphi(a^{2n-1} + b^{2n-1}), \forall n \geq 1,$$ trong đó $\varphi(x)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $x$ và nguyên tố cùng nhau với $x$.
1. Chứng minh rằng nếu $p > 3$ là số nguyên tố lẻ và có số hạng nào đó của dãy trên bằng $2p$ thì $a + b = 2p + 1$ hoặc $a + b = 2(2p + 1)$.
2. Chứng minh rằng $u_1, u_2, \ldots, u_{1012}$ chia hết cho $\frac{2024!}{1012!}$.
─── HẾT ───