Tuyển tập và phân loại các bài toán Bất Đẳng Thức & Cực Trị từ các kỳ thi chọn đội tuyển HSGQG năm học 2026 - 2027
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 1$. Chứng minh rằng
\[ 9(a^3b + b^3c + c^3a) + 1 \ge 4(ab + bc + ca) \]Tìm số thực dương $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức
\[ \sqrt{a^3 + ka} + \sqrt{b^3 + kb} + \sqrt{c^3 + kc} \ge \sqrt{3(k+1)(a+b+c)} \]đúng với mọi bộ ba số thực dương $(a, b, c)$ thỏa mãn điều kiện $ab + bc + ca = 3$.
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab + bc + ca = 1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{\sqrt{1 + a^2}} + \dfrac{b}{\sqrt{1 + b^2}} + \dfrac{c}{\sqrt{1 + c^2}} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2(a+b+c)}.$$Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x + y + z \ge 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[ P = \frac{x^2}{yz + \sqrt{1 + x^3}} + \frac{y^2}{zx + \sqrt{1 + y^3}} + \frac{z^2}{yx + \sqrt{1 + z^3}} \]Cho số nguyên dương $n$. Xét các số thực $x_1, x_2, \dots, x_n$ thoả mãn $|x_i| \leq 1, \forall i = 1, 2, \dots, n$, và $x_1 + x_2 + \dots + x_n = 0$. Với mỗi $k \in \{1, 2, \dots, n\}$, đặt $S_k = x_1 + 2x_2 + \dots + kx_k$.
a) Chứng minh rằng tồn tại các số $p, q \in \{1, 2, \dots, n\}$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho $S_p \leq 0$ và $|S_q| \leq \dfrac{2q+1}{4}$.
b) Khi $n \geq 3$, chứng minh rằng tồn tại các số thực $x_1, x_2, \dots, x_n$ thỏa mãn các điều kiện của bài toán sao cho với mọi $k \in \{1, 2, \dots, n\}$ ta đều có $|S_k| \geq \dfrac{2k+1}{4}$.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương, chứng minh rằng:
$$\sqrt{a^4 + b^4 + c^4} + \sqrt{a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2} \geq \sqrt{a^3 b + b^3 c + c^3 a} + \sqrt{a b^3 + b c^3 + c a^3}.$$Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng
\[ \frac{1}{b+c+1} + \frac{1}{c+a+1} + \frac{1}{a+b+1} \ge 2\left(\frac{1}{a+5} + \frac{1}{b+5} + \frac{1}{c+5}\right). \]a) Cho các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 2$. Chứng minh rằng:
$$a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 \leq 1.$$b) Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x(y^2 + z^2) = y + z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = \dfrac{1}{(1+x)^2} + \dfrac{1}{(1+y)^2} + \dfrac{1}{(1+z)^2} + \dfrac{4}{(1+x)(1+y)(1+z)}.$$Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(xf(y)) + f(f(x) + f(y)) = yf(x) + f(x + f(y)), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab + bc + ca = 3$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{\sqrt{b^3 + 1}} + \dfrac{b}{\sqrt{c^3 + 1}} + \dfrac{c}{\sqrt{a^3 + 1}} \ge \dfrac{3}{\sqrt{2}}$$Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P = \dfrac{ab}{\sqrt{a^2 + 3b^2}} + \dfrac{bc}{\sqrt{b^2 + 3c^2}} + \dfrac{ca}{\sqrt{c^2 + 3a^2}}$$Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a^2}{a + 2b^2} + \dfrac{b^2}{b + 2c^2} + \dfrac{c^2}{c + 2a^2} \ge 1$$Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2 + 3}} + \dfrac{b^3}{\sqrt{c^2 + 3}} + \dfrac{c^3}{\sqrt{a^2 + 3}} \ge \dfrac{3}{2}$$