Tuyển tập và phân loại các bài toán Phương Trình Hàm từ các kỳ thi chọn đội tuyển HSGQG năm học 2026 - 2027
Tìm tất cả dãy số nguyên dương tăng $(f_n)$, thỏa mãn mệnh đề sau là đúng: $$\forall n \in \mathbb{N}^* : (f_{3n} = f_n + 2n) \land (f_n \in \mathbb{P} \Rightarrow n \in \mathbb{P}).$$
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x + y f(x)) + f(xy) = f(x) + f(2026y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.$$Cho hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ liên tục, khác hằng và thỏa mãn:
\[ f(x^3) + 1 = \left(xf(x) + 2x^2 - 1\right)^2, \quad \forall x \in \mathbb{R} \]Xét dãy số thực $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = m \in \mathbb{R}$ và $u_{n+1} = f(u_n), \; \forall n \geq 1$.
a) Chứng minh rằng tồn tại $m > 1$ để dãy $(u_n)$ là dãy hằng.
b) Giả sử $f$ là đa thức khác hằng. Hỏi có bao nhiêu số thực $m \in (-1, 3)$ để $u_{2027} = 1$?
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
\[ xf(x + f(y)) = (x - y)f(f(-x)) \quad \text{với mọi } x, y \in \mathbb{R}. \]Tìm tất cả các số thực $a, b$ để tồn tại hàm $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ khác hằng và thỏa mãn
\[ f(ax^3 + y^2) = f(by^3 + x^2), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}. \]Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ thỏa mãn
\[ f(m + f(n)) = f(m) + 9n, \]với mọi số nguyên $m, n$.
Xét hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1) > 0$ và
$$f(a)f(d) - f(b)f(c) = 1$$với mọi số thực $a, b, c, d$ thỏa mãn $ad - bc = 1$.
a) Chứng minh $f(xy) = f(x)f(y)$ với mọi số thực $x$ và $y$.
b) Chứng minh $f(x) = x$ với mọi số thực $x$.
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+$ thỏa mãn
\[ f(xy) + 2026 f(x+y) = f(xf(y) + 2026 f(y)), \quad \forall x, y \in \mathbb{Q}^+. \]Cho hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
a) Giả sử $f$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
$$f(x + 2026) \le f(x) + 2026, \quad f(x + 2027) \ge f(x) + 2027, \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$Chứng minh rằng $f(x + 1) = f(x) + 1, \forall x \in \mathbb{R}$.
b) Tìm tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn hai điều kiện ở câu a) và $f(x^2) = [f(x)]^2, \forall x \in \mathbb{R}$.
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$xf(2x + xy) = xf(x) + f(x^2)f(y+1), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.$$Cho hàm số $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ thỏa mãn $f(1) = 1$ và
\[ f(x) + f(y) + f(z) + f(t) \le f(x+y+z+t) \le 4\max \{f(x), f(y), f(z), f(t)\} \]với mọi $x, y, z, t > 0$.
a) Chứng minh rằng $f$ tăng ngặt và $f(2026) = 2026$.
b) Tìm tất cả hàm số $f$ thỏa mãn bài toán.
Cho $n$ là một số nguyên dương lẻ. Xét các hàm $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x)f(y+x) = x^n f(f(y)) + (f(x))^2, \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (1).$$a) Giả sử $f$ không là hàm hằng. Chứng minh rằng:
i) $f(x) = 0$ khi và chỉ khi $x = 0$;
ii) $f$ là một đơn ánh.
b) Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn (1).
Tìm tất cả các số thực $k$ sao cho tồn tại hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $$f(f(x) + y) = kx + f(x + f(f(y))), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.$$
Xét tất cả các hàm số $f: (0; +\infty) \to \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
(1) $f\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right) = f(x)f(y), \quad \forall x, y > 0$;
(2) $f(x)f(y) \geq f(xy)f(1), \quad \forall x, y \geq 1$.
a) Chứng minh rằng nếu $f$ không là hàm hằng thì $f(x) > 0$ với mọi $x > 0$.
b) Tìm tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn đề bài.
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
\[ f(y f(x+y) + f(x)) = 4x + 2y f(x+y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}. \]Cho đa thức $P(x) = x^{100} + a_{99}x^{99} + \dots + a_1 x + a_0$, với các hệ số là số nguyên. Biết $P(i) = 2i - 1, \forall i = 1, 2, \dots, 99$.
a) Tính $P(0) + P(100) - 100!$
b) Giả sử cho $P(100) = 199$. Đặt $Q(x) = P(x) - 2x + 1 + p$, với $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $p > 100^{100}$. Chứng minh rằng $Q(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$.
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x^2 + f(y)) = y + (f(x))^2, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$Cho $P(x)$ là đa thức với hệ số thực thỏa mãn $P(x^2 + 1) = [P(x)]^2 + 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và $P(0) = 0$.
a) Chứng minh rằng $P(x) = x$.
b) Cho đa thức $Q(x) = x^{2026} + a_{2025}x^{2025} + \dots + a_1 x + a_0$ có 2026 nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng đa thức $Q(x^2 + 1)$ có ít nhất 2026 nghiệm thực phân biệt.
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x f(x + y)) = f(y f(x)) + x^2, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x^3 + y^3) = x^2 f(x) + y f(y^2), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x f(y) + f(x)) = 2f(x) + xy, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x^2 + y f(x)) = x f(x + y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$Tìm tất cả các hàm số $f: (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ thỏa mãn:
$$f(x f(y)) = f(x + y) + \dfrac{1}{y}, \quad \forall x, y > 0$$Cho hàm số $f: [0; 1] \to [-2026; 2026]$ thỏa mãn:
$$f(x) = -\sqrt{1-x} \cdot f\left(\sqrt{(1-x)^3}\right), \quad \forall x \in [0; 1]$$a) Xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi công thức $u_0 = a \in (0; 1)$ và $u_{n+1} = \sqrt{(1-u_n)^3}$. Chứng minh rằng $u_n \in (0; 1)$ và $f(a) = (-1)^n \cdot \sqrt[3]{u_1 u_2 \dots u_n} \cdot f(u_n)$ với mọi số nguyên dương $n$.
b) Chứng minh rằng $f(x) = 0, \forall x \in [0; 1]$.
Cho đa thức $P(x) = x^{2027} + 2026x + 2025$. Tìm tất cả các cặp hàm số $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(P(x) + x + 25y) + f(x + y) = g(x + 26y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.$$Cho hàm số $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ thỏa mãn $f(1) = 2$ và
$$f(xy) = f(x)f(y) - f(x + y) + 1 \text{ với mọi } x, y \in \mathbb{Q}.$$a) Chứng minh $f(n) = n + 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}$.
b) Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn.