Tuyển tập và phân loại các bài toán Đa Thức từ các kỳ thi chọn đội tuyển HSGQG năm học 2026 - 2027
Cho đa thức $P(x) = 4x^3 - 20x^2 + 25x$. Xét dãy các đa thức $(P_n(x))$ xác định bởi:
$$P_1(x), \quad P_{n+1}(x) = P(P_n(x)) \text{ với mọi } n \in \mathbb{N}^*.$$a) Với $P_1(x) = P(x)$, xác định số nghiệm thực phân biệt của $P_n(x)$ theo $n$.
b) Với $P_1(x) = P(1-x) + 8x^2 - 9$, gọi $a_n$ là nghiệm dương nhỏ nhất của đa thức $P_n(x)$ với mỗi $n \in \mathbb{N}^*$. Chứng minh rằng:
$$T = \sum_{n=1}^{2026} a_n > \dfrac{3}{4}.$$Gọi một đa thức hệ số thực là monic nếu nó có hệ số của bậc cao nhất bằng 1.
a) Xây dựng đa thức $f(x)$ có hệ số nguyên, bậc 29, monic, $2026 \mid f(0)$ sao cho: $\forall n \in \mathbb{Z}^+$ mà $3 \mid f(n)$ thì đều có $3^{42} \mid f(n)$.
b) Cho số nguyên dương $k > 1$ và số nguyên tố $p$ lẻ. Chứng minh rằng $k + v_p(k!)$ là giá trị lớn nhất của số nguyên dương $m$ sao cho tồn tại đa thức $f(x)$ hệ số nguyên bậc $k$, monic, $p \mid f(0)$ và thỏa mãn: $\forall n \in \mathbb{Z}^+$ mà $p \mid f(n)$ thì đều có $p^m \mid f(n)$.
Cho đa thức $P(x) = x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n$, với $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các số thực và $n$ là số nguyên dương lẻ. Biết rằng $P(0) + P(1) = 0$ và $P(x)$ có $n$ nghiệm thực $r_1, r_2, \dots, r_n$ thuộc $[0, 1]$. Tìm giá trị lớn nhất của $Q = \prod_{i=1}^n r_i$ theo $n$.
Cho số nguyên dương $n$. Tìm tất cả các đa thức $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ khác hằng, chỉ có nghiệm thực và thỏa mãn đẳng thức sau với mọi $x \in \mathbb{R}$:
\[ 16^n P\left(\frac{x^3 + 3x}{4}\right) = (x^4 + 7x^2 + 16)^n P(x). \]Đặt $A = 2026! + 1$ và xét đa thức
\[ P(x) = Ax^{4050} + b_1 x^{4048} + b_2 x^{4046} + \dots + b_{2024} x^2 + A, \]trong đó $b_1, b_2, \dots, b_{2024}$ là các số nguyên. Chứng minh $P(x)$ không có nghiệm hữu tỉ trong mỗi trường hợp sau:
a) $b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_{2024} = 2025$.
b) $b_1 + b_3 + \dots + b_{2023} = 2025$ và $b_2 + b_4 + \dots + b_{2024} = 1$.
Với số nguyên dương $n \geq 3$, đa thức $P(x) = x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \dots + a_{n-1}x + a_n$ có các hệ số thực sao cho $a_{n-2} = 0, a_n \neq 0$ và $\dfrac{a_{n-1}}{a_n} > n+1$. Giả sử đa thức $P(x)$ có $n$ nghiệm thực.
Chứng minh rằng $P(x)$ có cả nghiệm dương, nghiệm âm và có nghiệm thuộc khoảng $\left(-\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{n+1}\right)$.
Cho $P(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên có bậc bằng 5 sao cho có vô hạn cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn $xP(x) = yP(y)$ và $x \neq y$.
a) Chứng minh tồn tại số nguyên $C$ có tính chất: Nếu $(x, y)$ là cặp số nguyên thỏa mãn $x \neq y$ và $xP(x) = yP(y)$ thì $|x + y| \leq C$.
b) Chứng minh $P(x)$ có nghiệm nguyên.
Xét đa thức $P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ với các hệ số nguyên, $n$ là số nguyên dương thay đổi thỏa mãn $n \ge 4, a_n \neq 0$. Biết rằng đa thức $P(x)$ chia hết cho đa thức $x^2 - 2x - 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\max \{|a_0|, |a_1|, \dots, |a_{n-1}|\}$.
Xét đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn $P(1) = \sqrt{2}, P(-1) = -\sqrt{2}$ và
\[ (P(x))^2 \le x^6 + 1, \quad \forall x \in \mathbb{R} \]a) Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ có nghiệm thực và có bậc nhỏ hơn 4.
b) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn đề bài.
Cho đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên, biết rằng tồn tại ba số nguyên $x_1, x_2, x_3$ sao cho $P(x_1) = 2025, P(x_2) = 2026$ và $P(x_3) = 2027$.
a) Chứng minh rằng $x_2$ là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình $P(x) = 2026$.
b) Chứng minh rằng phương trình $P(x) = 2029$ có không quá một nghiệm nguyên.
Cho đa thức $S(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \dots + a_n$ với $n \ge 1, a_0 \neq 0$, có $n$ nghiệm thực $x_1, x_2, \dots, x_n$.
a) Chứng minh rằng
\[ \frac{a_1^2 - 2a_0 a_2}{n a_0^2} \ge \sqrt[n]{\left(\frac{a_n}{a_0}\right)^2} \]b) Giả sử các hệ số $a_i \in \{-1; 1\}$ với mọi $i = 0, 1, 2, \dots, n$, chứng minh rằng bậc của đa thức $S(x)$ không quá 3, từ đó hãy tìm tất cả các đa thức thỏa mãn khi $n = 3$.
Giả sử $a, b, c$ là ba trong bốn nghiệm của đa thức:
$$f(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x - 2.$$a) Chứng minh rằng $abc$ là nghiệm của đa thức $g(x) = x^4 + 4x^3 - 4x^2 - 16x - 8$.
b) Chứng minh rằng $ab$ là nghiệm của đa thức $h(x) = x^6 - 2x^5 - 14x^4 + 8x^3 + 28x^2 - 8x - 8$.
Cho đa thức monic
\[ P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, \]với $n > 2$, hệ số thực, tất cả nghiệm của $P(x)$ đều là số thực và khác 0.
a) Chứng minh rằng $2026 a_k^2 + 2027 a_{k+1}^2 > 0$ với mọi $k = 0, 1, \dots, n-2$.
b) Hỏi số lượng hệ số khác 0 của đa thức $P(x)$ nhỏ nhất là bao nhiêu?
Cho đa thức $P_n(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ với $n \in \mathbb{N}, n \geq 3$ và các hệ số $a_0, a_1, \dots, a_{n-1} \in \mathbb{Z}$. Biết rằng $P_n(x)$ có $n$ nghiệm thực phân biệt lập thành một cấp số cộng.
a) Với $n = 4$, chứng minh rằng đạo hàm $P_4'(x)$ của đa thức $P_4(x)$ có 3 nghiệm thực phân biệt lập thành một cấp số cộng.
b) Chứng minh rằng đa thức $P_n(x)$ luôn phân tích được thành tích của hai đa thức hệ số nguyên với bậc lớn hơn hoặc bằng 1.
Cho đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên và số nguyên tố $p$. Ta gọi $P(x)$ là $p$-tốt nếu từ số 0, sau hữu hạn phép biến đổi, ta có thể thu được mọi số nguyên, trong đó tại mỗi bước, từ một số nguyên $a$ ta được phép thực hiện một trong hai phép biến đổi sau:
i) Thay $a$ bởi $P(a)$;
ii) Thay $a$ bởi một số nguyên $b$ thỏa mãn $P(b) \equiv a \pmod p$, nếu tồn tại số nguyên $b$ như vậy.
a) Đếm số đa thức 3-tốt có bậc 99 mà tất cả các hệ số đều thuộc tập $\{1, 2, \dots, 99\}$.
b) Cho $P(x)$ là một đa thức bậc 2 với hệ số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố $p$ sao cho $P(x)$ không phải là đa thức $p$-tốt.
Cho đa thức hệ số thực: $$P(x) = x^{2026} + a_1 x^{2025} + a_2 x^{2024} + \dots + a_{2025}x + a_{2026}$$ thỏa mãn $a_{2024} = 0$, $a_{2025} a_{2026} > 0$ và $P(x)$ có đúng 2026 nghiệm thực (kể cả bội).
a) Chứng minh rằng phương trình $P(x) = 0$ có cả nghiệm thực dương và nghiệm thực âm.
b) Dãy các đa thức $(P_n(x))$ được xác định bởi $P_1(x) = P(x)$ và $P_{n+1}(x) = P(P_n(x))$ với mọi $n \geq 1$. Chứng minh rằng phương trình $P_{2026}(x) = 0$ có cả nghiệm thực dương và nghiệm thực âm.
Xét các đa thức $P(x), Q(x), R(x)$ với hệ số thực có bậc không quá 2027 đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
(i) Với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì $P(x) \leq Q(x) \leq R(x)$;
(ii) Có 1013 số thực phân biệt $x_1, x_2, \dots, x_{1013}$ thỏa mãn $P(x_i) = R(x_i)$ với mọi $i = \overline{1, 1013}$.
a) Chứng minh rằng: nếu tồn tại số thực $x_0$ khác tất cả các số $x_1, x_2, \dots, x_{1013}$ và thỏa mãn $P(x_0) + R(x_0) = 2Q(x_0)$ thì $P(x) + R(x) = 2Q(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
b) Giả sử $P(x), Q(x), R(x)$ đôi một phân biệt và $R(x)$ có bậc lẻ. Tồn tại hay không đa thức $Q(x)$ sao cho $R(x) - P(x)$ chia hết cho $Q(x)$?
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 1, u_2 = 3$ và công thức truy hồi:
$$u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_n, \quad \forall n \geq 1.$$Giả sử đa thức $P(x)$ có hệ số thực, bậc $m \in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn:
$$P(k) = u_k, \quad \forall k \in \{m + 2; m + 3; \dots; 2m + 2\}.$$a) Chứng minh rằng đa thức $Q(x) = P(x + 2) - P(x + 1)$ có bậc $m - 1$ và thỏa mãn:
$$Q(k) = 2^{k+1}, \quad \forall k \in \{m + 1; m + 2; \dots; 2m\}.$$b) Chứng minh rằng $P(2m + 3) = u_{2m+3} - 2^{m+2}$.
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn:
$$P(x^2 - 2) = (P(x))^2 - 2, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x^2 - y^2) = x f(x) - y f(y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$Cho đa thức $P(x) = x^{2026} + a_{2025}x^{2025} + \dots + a_1 x + 1$ với $a_i \ge 0$ và $P(x)$ có 2026 nghiệm thực.
a) Chứng minh rằng $P(2) \ge 3^{2026}$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $\sum_{i=1}^{2025} a_i$.
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn:
$$P(x^2 - 2x) = [P(x - 1)]^2 - 1, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$Cho đa thức $P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ có $n$ nghiệm thực phân biệt $x_1, x_2, \dots, x_n$.
Chứng minh rằng:
$$\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{P'(x_i)} = 0$$Cho đa thức $P(x) = x^{2026} + a_{2025}x^{2025} + \dots + a_1 x + a_0$ có các hệ số nguyên thỏa mãn $P(0) \ne 0$ và $P(x)$ có 2026 nghiệm thực phân biệt.
Chứng minh rằng tất cả các nghiệm thực của $P(x)$ đều là số vô tỉ.
Cho số nguyên $n \ge 2$ và ba đa thức $f(x), g(x), h(x)$ có hệ số thực, mỗi đa thức có bậc không vượt quá $n$. Một số thực $x_0$ được gọi là tốt nếu ba số $f(x_0), g(x_0), h(x_0)$ có thể sắp xếp thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó. Giả sử chỉ có hữu hạn số thực tốt.
a) Chứng minh rằng có không quá $3n$ số thực tốt.
b) Chứng minh rằng dấu bằng có thể xảy ra, nghĩa là tồn tại ba đa thức thỏa mãn các điều kiện trên và có đúng $3n$ số thực tốt.