Tuyển tập và phân loại các bài toán Giải Tích & Dãy Số từ các kỳ thi chọn đội tuyển HSGQG năm học 2026 - 2027
Chứng minh rằng, dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_1 = 2$ và $$x_{n+1} = \frac{\sqrt{x_1 + 1} + \sqrt{x_2 + 1} + \dots + \sqrt{x_n + 1}}{n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*$$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi:
$$\begin{cases} a_1 = a \in \mathbb{R}, \\ a_{n+1} = a_n + \dfrac{1 - a_n^2}{n a_n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*. \end{cases}$$a) Với $a = 2$, chứng minh rằng dãy $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn.
b) Với $a > 0$, chứng minh rằng $\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \dots + \dfrac{1}{a_n} \geq n$ với mọi $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$.
Sau khi thi tốt nghiệp trung học phổ thông, các em học sinh khối 12 của trường trung học phổ thông A đã hẹn nhau mỗi năm họp mặt một lần vào ngày hội trại của trường. Tuy nhiên qua 10 lần họp mặt thì nhận thấy mỗi lần họp mặt chỉ có đúng 20 thành viên tham dự và 2 lần họp mặt bất kỳ trong 10 lần họp mặt không có chung quá 2 thành viên. Hỏi khối 12 năm học đó của trường trung học phổ thông A có ít nhất bao nhiêu học sinh?
Xét dãy số $(x_n)_{n \ge 1}$ cho bởi $x_1 = \dfrac{3}{4}$, $(n+2)^2 x_{n+1} = n^2 x_n - (n+1)$ với mọi $n \ge 1$.
a) Tìm giới hạn của dãy $(x_n)_{n \ge 1}$.
b) Đặt $y_n = \dfrac{16}{4x_n + 1}$ với mọi số nguyên dương $n$, tìm tất cả đa thức hệ số nguyên $P(x)$ thỏa mãn $\lim (P(n) - y_n) = 0$.
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 1$ và $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 4}{u_n + 1}, \; \forall n \in \mathbb{N}^*$.
a) Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
b) Chứng minh tồn tại hàm phân thức $f(x) = \dfrac{x + a}{x + b}$ ($a \neq b$) sao cho dãy $(f(u_n))$ lập thành một cấp số nhân.
Cho $(a_n)$ là dãy số được xác định bởi $a_1 = 2$ và $a_n = 2a_{n-1}^2 - 1, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 2$.
Tính giới hạn:
$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2^{n-1}(a_{n-1} + 1)(a_{n-2} + 1)\cdots(a_1 + 1)}{a_n}.$$Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = \dfrac{1}{2}$ và $u_{n+1} = \dfrac{3 - u_n^2}{2}$ với mọi số nguyên dương $n$.
Chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Cho dãy số $(x_n)$, với $x_1 = a > 1$ và $x_{n+1} = x_n - \ln x_n, \; \forall n \in \mathbb{N}^*$.
a) Chứng minh dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
b) Đặt $S_n = \sum_{k=1}^{n-1} (n - k)\ln \sqrt{x_k}, \; \forall n = 2, 3, \dots$ Tính $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{S_n}{n}$.
Cho dãy số $(u_n)$ thoả mãn $u_1 = 2027$ và $u_n = \dfrac{1}{2}\left(u_{n-1} + \dfrac{2026}{u_{n-1}}\right), \forall n \geq 2$.
a) Chứng minh rằng $u_n \geq \sqrt{2026}$ với mọi $n \geq 1$.
b) Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1 = a \neq 2$; $x_{n+1} = \dfrac{x_n^2 - 3}{2x_n - 4}, \; \forall n \ge 1$.
a) Chứng minh rằng với $a = 4$, dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
b) Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn với mọi $a > 0; a \neq 2$.
Cho đa thức hệ số thực $P(x)$ có bậc $d \ge 5$, hệ số cao nhất bằng 1 và $P'(x) > 0$ với mọi $x \ge 1$. Xét dãy số $(x_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi
\[ x_1 = 1, \quad x_{n+1} = \frac{P'(n)}{P(n+1) - P(n)} x_n, \quad \forall n \ge 1. \]a) Xét dãy số $(y_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi $y_n = n \left(\dfrac{P(n+1) - P(n)}{P'(n)} - 1\right), \; n \ge 1$. Chứng minh rằng các dãy $(x_n), (y_n)$ đều hội tụ và tìm các giới hạn tương ứng.
b) Đặt $z_n = x_1 + x_2 + \dots + x_n$. Chứng minh rằng dãy $(z_n)$ hội tụ.
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi:
$$\begin{cases} x_1 = 1, \\ x_{n+1} = (n^2 + 1)x_1 x_2 \dots x_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*. \end{cases}$$Với mỗi $n \in \mathbb{N}^*$, đặt $y_n = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dots + \dfrac{1}{x_n}$.
a) Chứng minh rằng $x_n \geq 2^{n-1}, \forall n \in \mathbb{N}^*$ và dãy số $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn.
b) Chứng minh rằng $\lim_{n \to +\infty} y_n$ là một số vô tỉ.
Cho đa thức $P(x) = x^{2027} - x^{2026} + x$ và số thực $a_1 \in (0, 1)$. Dãy $(a_n)$ được xác định bởi $P(a_{n+1}) = a_n$. Chứng minh rằng dãy $(a_n)$ xác định duy nhất và có giới hạn hữu hạn là 1.
Cho số nguyên dương $n \geq 2$. Xét phương trình:
$$\frac{1}{x+1} + \frac{1}{2(x+2)} + \dots + \frac{1}{n(x+n)} = 1.$$
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm dương duy nhất $x_n$.
b) Đặt $y_n = n^{\frac{1}{2026}} (1 - x_n)$. Tính $\lim_{n \to +\infty} y_n$.
Cho $P(x)$ là đa thức hệ số thực bậc 2026, có hệ số cao nhất bằng 1.
a) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n_0$ sao cho với mọi số nguyên dương $n \geq n_0$ thì phương trình $P(x) = 2027^n$ có duy nhất một nghiệm thực dương, ký hiệu là $x_n$.
b) Chứng minh rằng dãy $(y_n): y_n = x_{n+2026} - 2027 \cdot x_n, \forall n \geq n_0$ có giới hạn hữu hạn.
Cho dãy số $(a_n)$:
\[ \begin{cases} a_1 = 2026 \\ n a_n = a_{n-1} + 1, \quad \forall n \ge 2 \end{cases} \]Xác định giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương $k$ sao cho $2026 a_k < 1$.
Với $n$ là số nguyên dương, xét các số thực dương $a_0, a_1, \dots, a_n$ thỏa mãn các điều kiện: $a_0$ là một số nguyên, $\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{a_i} \leq 1$ và $a_i \leq a_{i-1} + 1$ với mọi $i \in \{1, 2, \dots, n\}$.
a) Chứng minh rằng $n \leq 2a_0$.
b) Tìm hằng số $C$ nhỏ nhất để $n \leq C a_0 \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{a_i}$ với mọi $n \geq 1$.
Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi:
$$\begin{cases} u_1 = \dfrac{1}{2}, \\ u_{n+1} = \dfrac{\sqrt{u_n^2 + 4u_n} + u_n}{2}, \quad (\forall n \in \mathbb{N}^*). \end{cases}$$Đặt $v_n = \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{u_i^2}$ ($\forall n \in \mathbb{N}^*$). Chứng minh rằng dãy số $(v_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi:
$$\begin{cases} u_1 = 0 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{5 - u_n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}$$a) Chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính $\lim u_n$.
b) Đặt $T_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{u_k - 3}$. Tính $\lim \left(\dfrac{T_n}{2n + 3}\right)$.
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 1$, $u_2 = 2$ và $u_{n+2} = 4u_{n+1} - u_n$ với mọi $n \ge 1$.
a) Chứng minh rằng $u_{2n} - u_n^2 = 1$ với mọi $n \ge 1$.
b) Chứng minh rằng $2u_{2n} - 1$ là một số chính phương với mọi $n \ge 1$.
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_1 = 1$ và $x_{n+1} = \sqrt{x_n^2 + 2x_n + 2} - 1$ với mọi $n \ge 1$.
a) Chứng minh dãy $(x_n)$ hội tụ và tìm $\lim x_n$.
b) Tìm tất cả các giá trị của $\alpha > 0$ sao cho dãy số $(y_n)$ với $y_n = n^\alpha x_n$ có giới hạn hữu hạn khác 0 khi $n \to +\infty$.
Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1 = 1$ và $x_{n+1} = \dfrac{x_n}{1 + \ln(1 + x_n^2)}$ với mọi $n \ge 1$.
a) Chứng minh rằng $\lim x_n = 0$.
b) Tìm giới hạn $\lim (n x_n^2)$.
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = \dfrac{3}{2}$ và $u_{n+1} = \dfrac{u_n^3 - 3u_n + 6}{3}$ với mọi $n \ge 1$.
a) Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ tăng và $\lim u_n = +\infty$.
b) Đặt $v_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{u_k^2 - u_k + 3}$. Tìm phần nguyên $[\lim v_n]$.
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = a > 0$ và $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n^2}$ với mọi $n \ge 1$.
a) Chứng minh rằng $\lim u_n = 0$.
b) Chứng minh rằng $\lim (\sqrt{n} u_n) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1 = 2$ và $a_{n+1} = \dfrac{a_n^2 + 1}{2a_n}$ với mọi $n \ge 1$.
a) Chứng minh rằng dãy số $(a_n)$ giảm và hội tụ. Tìm $\lim a_n$.
b) Đặt $S_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{a_k - 1}$. Tìm $\lim \left(\dfrac{S_n}{2^n}\right)$.
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 2025$ và $u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n^2}$ với mọi $n \ge 1$.
a) Chứng minh rằng $\lim u_n = +\infty$.
b) Tìm giới hạn $\lim \left(\dfrac{u_n}{\sqrt[3]{n}}\right)$.
Có 7 điểm phân biệt được đánh dấu từ 0 đến 6. Một con châu chấu xuất phát từ điểm khác 0 và thực hiện $n-1$ lần nhảy đến $n$ vị trí. Châu chấu có thể nhảy đến ô khác hoặc nhảy lên rồi đáp xuống vị trí mà châu chấu đang đứng, tuy nhiên châu chấu không thể nhảy từ vị trí 2 đến vị trí 0 hoặc từ vị trí 2 đến vị trí 6. Một hành trình được định nghĩa là vị trí của châu chấu qua các bước nhảy. Gọi $u_n$ là số hành trình khác nhau của châu chấu sau $n$ bước nhảy.
a) Tìm công thức truy hồi của dãy $(u_n)$.
b) Chứng minh rằng $u_{2026} \cdot u_{2028}$ là tổng của 2 số chính phương.
Cho đa thức monic $P(x)$ có bậc lớn hơn 1, thỏa mãn $P(n) > 0$ với mọi số tự nhiên $n$. Xét dãy số $(x_n)$ được xác định bởi $x_0 = \dfrac{1}{P(0)}$ và
$$x_n = \dfrac{P(n-1)x_{n-1}}{P(n) + P(n-1)x_{n-1}}, \quad \forall n \ge 1.$$Chứng minh rằng dãy $(y_n)$ được xác định bởi $y_n = x_1 + x_2 + \dots + x_n$ có giới hạn hữu hạn khi $n \to +\infty$.
Cho dãy số $(a_n)$ được xác định bởi $a_1 = 24^{24}, a_2 = 25^{25}, a_3 = 26^{26}$, và
$$a_n = |a_{n-1} - a_{n-2}| + |a_{n-2} - a_{n-3}|, \quad \forall n \ge 4.$$Tính giá trị của $a_{27^{27}}$.
Cho dãy số thực $(u_n)$ thỏa mãn:
$$u_1 = 2, \quad (u_{n+1} + 1)u_n = u_n\left(\sqrt{u_n} + 1\right)^2 + 1, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*.$$a) Chứng minh rằng $3n - 1 \le u_n < (n + 1)^2, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
b) Chứng minh rằng $\dfrac{1}{u_1} + \dfrac{2}{u_2} + \dots + \dfrac{n}{u_n} > \ln\dfrac{n + 2}{2} - 1, \forall n \in \mathbb{N}^*$.