Tuyển tập và phân loại các bài toán Tổ Hợp từ các kỳ thi chọn đội tuyển HSGQG năm học 2026 - 2027
Cho 99 cái đĩa xếp trên bàn tròn. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất, thoả mãn có thể chia $n$ viên kẹo vào các đĩa sao cho tổng số viên kẹo ở 20 đĩa liên tiếp bất kỳ luôn không ít hơn 25.
Cho bảng ô vuông $8 \times 8$. Kanaya, một cô gái thích những trò chơi, sẽ thực hiện các thao tác sau trên bảng ô vuông đó:
"Mỗi một lần thực hiện, cô ta sẽ tìm các ô vuông kề nhau với ít nhất hai ô chưa được tô màu; nếu có ô như thế cô ta chọn một trong các ô vuông thoả mãn điều kiện trên và tô màu nó, nếu không có ô nào như thế cô ta sẽ dừng thao tác."
Sau khi Kanaya thực hiện các thao tác như trên đến khi dừng, gọi $n$ là số ô vuông chưa tô màu trong bảng. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $n$.
Một dàn đèn LED dạng lưới tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $n$ (với $n \in \mathbb{N}^*, n \geq 4$) được chia thành các tam giác đều có cạnh bằng 1, mỗi nút của lưới có một bóng đèn (tham khảo hình vẽ). Mỗi đèn có hai trạng thái: bật và tắt. Ban đầu, tất cả các đèn đều ở trạng thái tắt. Kí hiệu $X_i, Y_j, Z_k$ là các đường thẳng lần lượt song song hoặc trùng với $BC, AB, AC$ chứa đúng $i$ đèn ($i = 1, 2, \dots, n+1$). Với mỗi thao tác, người ta tác động vào một trong các đường thẳng $X_i, Y_j, Z_k$ làm cho trạng thái của tất cả các đèn nằm trên đó thay đổi: đèn đang tắt sẽ bật, đèn đang bật sẽ tắt.
Hình minh họa dàn đèn LED dạng lưới tam giác đều với $n = 4$
a) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng $X_i, Y_j, Z_k$ cùng đi qua một đèn là $i + j + k = 2n + 3$.
b) Từ trạng thái ban đầu, hãy chỉ ra một dãy thao tác trong đó số lần tác động vào mỗi đường thẳng $X_i, Y_j, Z_k$ nhiều nhất bằng 1, đồng thời mỗi nhóm $(X_1, \dots, X_{n+1})$, $(Y_1, \dots, Y_{n+1})$ và $(Z_1, \dots, Z_{n+1})$ đều có ít nhất một đường thẳng được tác động, để sau dãy thao tác này tất cả các đèn đều tắt.
c) Với mỗi trạng thái $H$ có thể xảy ra của dàn đèn LED, gọi $s(H)$ là số thao tác ít nhất cần thực hiện để tạo ra $H$ từ trạng thái ban đầu. Tìm giá trị lớn nhất của $s(H)$.
Với $n$ là số nguyên dương, xét các số thực thay đổi $x_1, x_2, \dots, x_n \in [-1, 1]$. Quy ước rằng $x_0 = x_n$ và $x_{n+1} = x_1$. Kí hiệu $T = \max_{1 \le k \le n} \left(x_k(x_{k-1} + x_{k+1})\right)$ là số lớn nhất trong $n$ số
\[ x_1(x_0 + x_2); \; x_2(x_1 + x_3); \; \dots; \; x_n(x_{n-1} + x_{n+1}) \]a) Khi $n = 2026$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T$.
b) Khi $n = 2027$. Chứng minh rằng $T \geq -\dfrac{1}{4}$ và nêu một bộ số $x_1, x_2, \dots, x_n \in [-1, 1]$ thỏa mãn đẳng thức.
Trên mặt phẳng tọa độ giả lập cho một trò chơi điện tử, Bảo Long và Châu Mai cùng điều khiển một chiếc xe. Ban đầu, xe ở gốc tọa độ và hướng về chiều dương của trục $Ox$. Xe có thể đi theo một trong bốn hướng: lên, xuống, trái, phải. Hai bạn chơi luân phiên thực hiện các lượt đi như sau:
Biết rằng Long đi trước và thực hiện tổng cộng $k$ lượt. Sau mỗi lượt của Long, hệ thống ghi nhận lại vị trí dừng xe. Nếu có một vị trí dừng nào trùng với vị trí được ghi nhận trước đó (kể cả gốc tọa độ) thì Mai thắng, nếu không thì Long thắng. Hãy xác định người có chiến thuật thắng nếu:
a) $k = 20$
b) $k = 400$
Cho nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AB$. $C$ là điểm trên nửa đường tròn sao cho $CA < CB$. Tiếp tuyến $Ax$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $M$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $B, C$ cắt nhau tại $N$. Gọi $F$ là giao điểm của $AN$ và $BM$, $D$ là giao điểm thứ hai của $AN$ và $(O)$. Đường thẳng $d$ đi qua $M$, song song với $AB$, cắt $OC$ tại $I$. Đường thẳng $d'$ đi qua $N$, song song với $AB$, cắt $OD$ tại $J$. Gọi $E$ là giao điểm của $MN$ và $OF$.
a) Chứng minh rằng $MD$ là tiếp tuyến của $(O)$ và ba điểm $I, J, E$ thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng $C, D, E, F$ cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.
Cho số nguyên $n \ge 2$ và một bảng vuông kích thước $3n \times 3n$ (gồm $9n^2$ ô vuông đơn vị). Một quân cờ $T$ được đặt ở một ô nào đó trên bảng và di chuyển như sau: mỗi bước đi quân cờ $T$ hoặc di chuyển lên trên một ô, hoặc sang phải một ô hoặc đi chéo xuống-sang trái một ô (như hình minh họa bên dưới, mỗi bước đi thực chất chỉ di chuyển sang một ô chung đỉnh). Xuất phát từ ô đó, quân cờ $T$ thực hiện một số bước đi và không bao giờ đi qua một ô hai lần, rồi quay trở lại ô xuất phát. Xác định số bước đi lớn nhất có thể mà quân cờ $T$ đã thực hiện.
Trong một bảng ô vuông có kích thước $200 \times 200$, tại một số ô có đặt các quân cờ màu đỏ hoặc màu xanh. Hai quân cờ được gọi là "nhìn" nhau nếu chúng nằm trên cùng một hàng hoặc cùng một cột. Hãy tìm số quân cờ lớn nhất có thể đặt trong bảng, để mỗi quân cờ "nhìn" đúng 5 quân cờ có màu khác với màu của nó.
Có 30 học sinh tham dự một khóa học gồm 100 tiết. Kết thúc khóa học, những học sinh đi học ít hơn 56 tiết sẽ không được dự thi cuối khóa. Biết rằng trong mỗi tiết học đều có nhiều hơn nửa số học sinh vắng mặt.
a) Chứng minh rằng có ít nhất một học sinh không được dự thi cuối khóa.
b) Tìm số nguyên $N$ lớn nhất sao cho chắc chắn có ít nhất $N$ học sinh không được dự thi cuối khóa.
Bé An có một bộ cờ gồm 32 quân cờ. An chơi trò chơi đặt lần lượt các quân cờ lên một bàn cờ kích thước $n \times n$. Trên bàn cờ, một ô gọi là hợp lệ nếu ô đó chưa có quân cờ nào đồng thời tổng số quân cờ đang có trên $2n-2$ ô cùng hàng hoặc cùng cột với ô đó là một số chẵn. Mỗi bước An đặt một quân cờ vào một ô hợp lệ.
a) Xét $n = 8$ và bàn cờ được tô trắng đen như bàn cờ vua tiêu chuẩn. Chứng minh rằng An có thể đặt hết 32 quân cờ vào 32 ô trắng của bàn cờ.
b) Với $n = 8$, chứng minh rằng nếu với mỗi bước đặt quân cờ An chọn ngẫu nhiên một ô hợp lệ thì An luôn đặt được toàn bộ 32 quân cờ lên bàn cờ.
c) Với $n = 7$, hỏi nếu với mỗi bước đặt quân cờ An chọn ngẫu nhiên một ô hợp lệ thì có còn đảm bảo luôn đặt được toàn bộ 32 quân cờ lên bàn cờ hay không? Vì sao?
Cho số nguyên dương lẻ $n \ge 2$ và một số nguyên tố lẻ $p$. Xét một bảng vuông $n \times n$, tại mỗi ô vuông đơn vị ta điền một số nguyên thuộc tập $\{1, 2, \dots, p-1\}$. Một bảng được gọi là “TPĐN” nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) Tích của 4 số trong bất kỳ ô vuông $2 \times 2$ nào trên bảng đều đồng dư với 1 mô-đun $p$.
ii) Tích của tất cả $n^2$ số trên bảng đồng dư với $-1$ mô-đun $p$.
a) Hãy hoàn thành bảng “TPĐN” với $n = 3$ và $p = 5$ sau đây:
| 3 | 2 | 4 |
| 3 | ||
b) Tính số lượng bảng “TPĐN” theo $n$ và $p$ (hai bảng được gọi là khác nhau nếu tồn tại ô vuông đơn vị ở hàng $i$ và cột $j$ trong hai bảng chứa hai số khác nhau).
Một câu lạc bộ có 99 thành viên, trong đó có một số cặp quen biết nhau (quan hệ quen biết có tính hai chiều). Giả sử số lượng người quen của mỗi thành viên trong câu lạc bộ đều từ 81 đến 90.
a) Chứng minh rằng tồn tại 2 thành viên của câu lạc bộ có ít nhất 67 người quen chung.
b) Chứng minh rằng tồn tại 10 thành viên của câu lạc bộ cùng quen chung một người và có số lượng người quen bằng nhau.
Cho số nguyên $n$ lớn hơn 3 và một đa giác đều $P$ có $2n$ đỉnh. Một tam giác được gọi là phủ đa giác $P$ nếu tất cả các đỉnh của $P$ đều nằm trong tam giác hoặc nằm trên cạnh của tam giác.
Tính số tam giác phủ đa giác $P$ tạo bởi ba đường thẳng chứa ba cạnh của đa giác $P$.
Cho 9 số thực $a_1, a_2, \dots, a_9$. Khởi đầu với bộ 9 số thực $(a_1, a_2, \dots, a_9)$.
Ở mỗi bước, từ bộ vừa được tạo $(x_1, x_2, \dots, x_9)$, ta tạo ra một bộ mới $(y_1, y_2, \dots, y_9)$ theo quy tắc sau: chọn các số $\epsilon_1, \dots, \epsilon_9 \in \{-1; 1\}$ sao cho biểu thức $\left| \sum_{i=1}^9 \epsilon_i x_i \sqrt{i} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất (nếu có nhiều cách chọn, lấy một cách tùy ý), sau đó đặt $y_i = x_i + \epsilon_i \sqrt{i}$ với mọi $i = 1, 2, \dots, 9$.
Chứng minh sau hữu hạn bước, sẽ xuất hiện một bộ $(u_1, u_2, \dots, u_9)$ sao cho tồn tại chỉ số $i$ để $|u_i| \geq \dfrac{15}{2}$.
Một khu vườn trồng cam có dạng bảng ô vuông kích thước $2025 \times 2026$ được chia thành các ô vuông đơn vị. Để chiếu sáng khu vườn về ban đêm, ta đặt các bóng điện ở các đỉnh của các ô vuông đơn vị, mỗi đỉnh đặt không quá một bóng điện. Biết rằng mỗi bóng điện chỉ có thể chiếu sáng toàn bộ các ô vuông đơn vị có chung đỉnh có đặt bóng điện đó.
a) Hỏi cần dùng ít nhất bao nhiêu bóng điện để có thể chiếu sáng toàn bộ khu vườn, trong trường hợp các bóng điện hoạt động bình thường?
b) Hỏi cần dùng ít nhất bao nhiêu bóng điện để có thể chiếu sáng toàn bộ khu vườn, kể cả trong trường hợp không may có một bóng điện bất kì bị cháy (mà ta không biết cụ thể là bóng nào)?
c) Trong quá trình trồng cam, chủ vườn quyết định mở rộng khu vườn thành bảng ô vuông có kích thước $2026 \times 2026$. Hỏi cần dùng ít nhất bao nhiêu bóng điện để điều kiện ở câu b) vẫn được thỏa mãn?
Cho số nguyên dương $n$. Hai bạn $A$ và $B$ cùng tham gia một trò chơi gồm $n$ lượt. Mỗi lượt, họ độc lập giải cùng một câu đố và kết quả là mỗi người chơi hoặc giải được hoặc không giải được. Đặt $c_A(i), c_B(i)$ lần lượt là tổng số câu đố mà $A, B$ giải được trong $i$ lượt đầu tiên. Hỏi có bao nhiêu kịch bản có thể xảy ra để $A$ đạt giải đặc biệt, nghĩa là sau khi kết thúc toàn bộ $n$ lượt chơi, $A$ không chỉ giải được nhiều câu đố hơn $B$ ($c_A(n) > c_B(n)$), mà còn chưa bao giờ để $B$ bỏ xa quá một câu trong suốt quá trình ($\forall i = 1, 2, \dots, n: c_B(i) - c_A(i) \le 1$)?
Với $n$ nguyên dương, cho $n$ tập hữu hạn các số thực $S_1, S_2, \dots, S_n$ rời nhau đôi một, thỏa mãn $|S_i| = s_i \ge n + 1, \; 1 \le i \le n$. Một đoạn $[a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$ được gọi là đoạn chuẩn bậc $i$ nếu $a, b \in S_i$. Chứng minh rằng có tối thiểu
\[ \prod_{i=1}^n (s_i - n) \]cách chọn $n$ đoạn chuẩn đại diện cho $n$ bậc khác nhau và chúng đôi một không giao nhau.
Cho số nguyên $n \ge 3$. Hỏi có bao nhiêu dãy số $(u_1, u_2, \dots, u_n)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $u_i \in \{0, 1, 2\}$ với mọi số nguyên $i$ thỏa mãn $1 \le i \le n$;
ii) Không tồn tại số nguyên $k$ thỏa mãn $1 \le k \le n-2$ và
Cho hình hộp kích thước $7 \times 7 \times 112$, gồm 5488 khối lập phương đơn vị. Mỗi khối lập phương được gán một số nguyên dương. Chứng minh rằng với mọi cách gán, có thể chọn nhiều hơn 2027 hình hộp con (có cấu tạo từ các khối lập phương đơn vị) có độ dài các cạnh lớn hơn 1 sao cho trong mỗi hình, tám khối lập phương ở các góc được gán các số có cùng tính chẵn lẻ.
Bạn Hải tô màu $n$ số nguyên dương đầu tiên bởi đúng $k$ màu, mỗi số chỉ tô đúng một màu ($k \leq n$). Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho với mọi cách tô luôn tồn tại hai số được tô cùng màu mà hiệu của chúng là số chính phương trong mỗi trường hợp sau:
a) $k = 2$.
b) $k = 3$.
Với mỗi số nguyên dương $n$, ta gọi một hoán vị $(a_0, a_1, \dots, a_{n-1})$ của các số $0, 1, \dots, n-1$ là tốt nếu $a_i + i$ là số chính phương với mọi $i = 0, 1, \dots, n-1$.
a) Chứng minh rằng với $n = 2026$, trong một hoán vị tốt $(a_0, a_1, \dots, a_{2025})$, luôn tồn tại ít nhất một chỉ số $i$ sao cho $a_i + i$ chia hết cho 9.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, luôn tồn tại ít nhất một hoán vị tốt.
Cho hai số nguyên $n, k$ thỏa mãn $2 \le k < n$. Trong một lễ hội, có $n$ ngọn đèn được đặt trên một vòng tròn và đánh số $1, 2, \dots, n$ theo chiều kim đồng hồ. Mỗi ngọn đèn ở một trong hai trạng thái: sáng hoặc tắt.
Trong mỗi lượt ghi, trạng thái của các ngọn đèn được giữ cố định. Một người đi quanh vòng tròn theo chiều kim đồng hồ. Khi đứng tại ngọn đèn thứ $i$, người đó ghi lại số ngọn đèn đang sáng trong $k$ ngọn đèn liên tiếp theo chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ ngọn đèn thứ $i$; sau ngọn đèn thứ $n$ lại đến ngọn đèn thứ 1. Gọi số ghi được tại ngọn đèn thứ $i$ là $s_i$. Sau một vòng, người đó thu được bản ghi $(s_1, s_2, \dots, s_n)$.
a) Xác định điều kiện của $n, k$ để với mọi cách bố trí trạng thái của các ngọn đèn, bản ghi $(s_1, s_2, \dots, s_n)$ xác định duy nhất cách bố trí đó.
b) Trong suốt lễ hội, trạng thái của các ngọn đèn có thể được thay đổi tùy ý giữa các lượt ghi. Xác định số bản ghi $(s_1, s_2, \dots, s_n)$ phân biệt có thể thu được.
Cho các số nguyên dương $m, n$. Xét một bảng ô vuông kích thước $3m \times 6n$ (gồm $3m$ hàng và $6n$ cột). Trên bảng đó một số ô có màu trắng và các ô còn lại màu đỏ. Gọi $T$ là số bộ ba $(C_1, C_2, C_3)$ gồm các ô, trong đó hai ô đầu tiên nằm trên cùng một hàng và hai ô cuối cùng nằm trên cùng một cột, với $C_1$ và $C_3$ là ô trắng còn $C_2$ là ô đỏ. Tìm giá trị lớn nhất của $T$.
Cho tập hợp $S = \{1; 2; \dots; 2026\}$.
a) Có bao nhiêu tập con khác rỗng của $S$ mà tổng các phần tử của nó chia hết cho 4?
b) Xét $n$ ($n \geq 2$) tập con $S_1, S_2, \dots, S_n$ của tập hợp $S$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(i) $S_i \neq \emptyset$ với mọi $i = \overline{1, n}$;
(ii) $|S_i \setminus S_j| \neq 0$ với mọi $i, j \in \{1; 2; \dots; n\}, i \neq j$;
(iii) $|S_i| \neq |S_j|$ với mọi $i, j \in \{1; 2; \dots; n\}, i \neq j$.
Tìm giá trị lớn nhất của $n$.
Cho bảng vuông $n \times n$. Các giao điểm giữa các đoạn thẳng được gọi là các nút lưới. Đường đi ngắn nhất giữa 2 nút lưới là dãy cạnh nối giữa 2 đỉnh có độ dài ngắn nhất. Một tập tốt là tập các nút lưới thỏa mãn giữa 2 nút lưới bất kỳ, số đường đi ngắn nhất nối giữa chúng đều là số lẻ.
a) $n$ là lũy thừa của 2. Hãy xây dựng tập tốt có $2n$ nút lưới.
b) $n$ bất kỳ. Tìm số lượng lớn nhất các phần tử của một tập tốt.
Một tập hợp $M$ gồm các số thực dương được gọi là co cụm bậc 2 nếu tỉ số giữa phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất của $M$ không vượt quá 2.
Cho 2000 số thực dương có tổng bằng 1, trong đó mỗi số không vượt quá $\dfrac{1}{100}$. Chứng minh rằng có thể chọn ra 51 số sao cho tập hợp gồm 51 số đó là co cụm bậc 2.
Có $N$ người ngồi quanh một bàn tròn ($N \geq 3$), mỗi người ban đầu cầm trên tay $k$ tấm thẻ ($k \geq 2$). Mỗi tấm thẻ được ghi một số nguyên dương thuộc tập hợp $\{1; 2; \dots; N\}$, biết rằng mỗi số nguyên từ 1 đến $N$ xuất hiện trên đúng $k$ tấm thẻ trong tất cả các tấm thẻ của $N$ người. Tại mỗi lượt chơi, tất cả mọi người đồng thời giữ lại trên tay tấm thẻ có ghi số lớn nhất mà mình đang có và chuyển tất cả các tấm thẻ còn lại cho người ngồi ngay bên trái mình. Trò chơi kết thúc khi có một người nào đó cầm trên tay đúng $k$ tấm thẻ ghi cùng một số.
a) Với $N = 25$ và $k = 2$, chứng minh rằng trò chơi luôn kết thúc sau một số hữu hạn lượt chơi.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(k, N)$ với $k \geq 2, N \geq 3$ sao cho trò chơi luôn kết thúc sau một số hữu hạn lượt chơi với mọi cách phân phối thẻ ban đầu.
Một tập hợp khác rỗng các số nguyên dương được gọi là tốt nếu tập hợp đó không chứa hai số $a$ và $b$ sao cho thương của chúng là một lũy thừa của 3 với số mũ nguyên dương.
a) Tìm số các tập con tốt của $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.
b) Một tập con tốt của $X = \{1; 2; 3; \dots; 2187\}$ có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?
c) Có bao nhiêu tập con của $X = \{1; 2; 3; \dots; 2187\}$ là tốt và có số phần tử nhiều nhất?
Cho số nguyên dương $n$ và tập hợp $A$ gồm $60n + 1$ số nguyên dương không vượt quá $210n$ và nguyên tố cùng nhau với 14. Chứng minh rằng, trong $A$ luôn tồn tại hai số mà một số chia hết cho ba lần số còn lại.
Một điểm lưới là một điểm $(x; y)$ trên mặt phẳng tọa độ sao cho $x, y$ là các số nguyên dương không vượt quá 20. Ta nói điểm $B = (x'; y')$ nằm về phía Đông Bắc của điểm $A = (x; y)$ nếu $x' > x$ và $y' > y$. Ba điểm lưới $A, B, C$ được gọi là một bộ ba Đông Bắc nếu $B$ nằm về phía Đông Bắc của $A$ và $C$ nằm về phía Đông Bắc của $B$.
Một tập hợp gồm 20 điểm lưới được gọi là Lam Sơn nếu mọi đường thẳng đi qua hai điểm trong tập hợp đều không song song với các trục tọa độ, đồng thời tập hợp chứa ít nhất một bộ ba Đông Bắc.
a) Chứng minh rằng trong mỗi tập Lam Sơn luôn tồn tại ba điểm $X, Y, Z$ sao cho:
$$XY^2 \geq XZ^2 + ZY^2 + 4.$$b) Hỏi có bao nhiêu tập Lam Sơn?
Cho bảng ô vuông kích thước $2 \times 4$ gồm 8 ô vuông. Sử dụng 4 màu khác nhau để tô cho 8 ô sao cho mỗi ô chỉ được tô đúng một màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu thỏa mãn trong các cặp ô vuông có chung cạnh, có đúng một cặp được tô cùng màu, còn tất cả các cặp chung cạnh khác đều được tô khác màu?
Bảng ô vuông kích thước $2 \times 4$
Một số nguyên dương $n$ được gọi là số "đẹp" khi tập hợp các số từ $1, 2, \dots, n$ có thể phân hoạch thành các tập hợp con sao cho mỗi tập hợp con đó có trung bình cộng của các phần tử bằng chính số lượng phần tử của nó.
Ví dụ: 4 được gọi là số "đẹp" vì $\{1\}$ và $\{2; 3; 4\}$ là các tập hợp con thỏa mãn yêu cầu bài toán.
a) Chứng minh rằng 9 và 13 là các số "đẹp".
b) Chứng minh rằng mọi số chính phương đều là số "đẹp".
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a, b)$ sao cho $a^3 + b^3 + 3ab$ chia hết cho $ab(a - b) + 1$.
Cho bảng ô vuông kích thước $2025 \times 2025$. Mỗi ô vuông đơn vị được tô bởi một trong 3 màu: đỏ, xanh, vàng. Một cách tô màu được gọi là "hài hòa" nếu mỗi hình chữ nhật kích thước $1 \times 3$ hoặc $3 \times 1$ chứa đủ 3 màu.
a) Chứng minh rằng tồn tại cách tô màu hài hòa.
b) Có bao nhiêu cách tô màu hài hòa cho bảng ô vuông đã cho?
Cho tập hợp $S = \{1, 2, \dots, n\}$. Một tập con $A$ của $S$ được gọi là "độc lập" nếu không có hai phần tử $x, y \in A$ nào thỏa mãn $|x - y| = 1$ hoặc $|x - y| = 3$.
a) Với $n = 10$, tìm số phần tử lớn nhất của một tập con độc lập.
b) Tính số tập con độc lập của $S$ khi $n = 2026$.
Một giải bóng đá có $n$ đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (mỗi đội gặp nhau đúng 1 trận, thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm). Kết thúc giải đấu, tổng điểm của tất cả các đội là $S$.
a) Giả sử $n = 8$ và $S = 70$. Chứng minh rằng có ít nhất 2 trận hòa.
b) Với $n = 2026$, tìm số trận hòa lớn nhất có thể xảy ra sao cho không có 2 đội nào có cùng số điểm.
Cho tập hợp $X = \{1, 2, \dots, 2026\}$. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho trong mọi tập con có $k$ phần tử của $X$, luôn tồn tại hai phần tử phân biệt $a, b$ thỏa mãn $a + b$ là một lũy thừa của 2.
Cho bảng vuông $8 \times 8$. Người ta đặt các quân cờ domino kích thước $1 \times 2$ (mỗi quân cờ phủ đúng 2 ô vuông kề nhau) lên bảng sao cho không có hai quân cờ nào đè lên nhau.
a) Có thể phủ kín bảng ô vuông bị khuyết 2 ô ở 2 góc đối diện hay không?
b) Tìm số quân cờ domino lớn nhất có thể đặt lên bảng sao cho không thể đặt thêm bất kỳ quân domino nào nữa mà không bị đè lên quân cờ đã có.
Có 2026 học sinh xếp thành một vòng tròn. Thầy giáo chia cho mỗi học sinh một số kẹo nhất định sao cho tổng số kẹo là 2026. Ở mỗi bước, nếu một học sinh có ít nhất 2 cái kẹo thì học sinh đó có thể đưa cho mỗi bạn bên cạnh mình (bên trái và bên phải) đúng 1 cái kẹo. Chứng minh rằng sau hữu hạn bước, trạng thái mà mỗi học sinh có đúng 1 cái kẹo sẽ đạt được.
Trên bảng cho $2026$ số nguyên dương phân biệt $a_1, a_2, \dots, a_{2026}$. Ở mỗi bước, người ta chọn hai số bất kỳ $x, y$ trên bảng sao cho $x > y$, xóa hai số này đi và thay bằng $\gcd(x, y)$ và $\operatorname{lcm}(x, y)$.
Chứng minh rằng sau một số hữu hạn bước, các số trên bảng sẽ không thay đổi nữa.
Cho $n$ là một số nguyên dương lẻ. Trên bảng viết các số $0, 1, 2, \dots, n$. An và Bình luân phiên xóa các số trên bảng, mỗi lượt xóa đúng một số. An đi trước. Trò chơi kết thúc khi tất cả các số đã bị xóa. Gọi $A$ là tổng các số do An xóa và $B$ là tổng các số do Bình xóa.
a) Với $n = 7$, hãy tìm số tập hợp gồm 4 số mà An có thể xóa sao cho $\gcd(A, B) = 1$. Ở đây chỉ xét tập hợp các số An đã xóa, không xét thứ tự xóa.
b) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương lẻ $n$ sao cho An có chiến lược bảo đảm $\gcd(A, B)$ là một số chẵn, bất kể Bình chơi như thế nào.
c) Với $n = 81$, An muốn làm cho $\gcd(A, B)$ lớn nhất có thể, còn Bình muốn làm cho $\gcd(A, B)$ nhỏ nhất có thể. Biết cả hai đều chơi tối ưu, hãy xác định giá trị cuối cùng của $\gcd(A, B)$.
Cho một bảng ô vuông vô hạn, mỗi ô được điền một số thực. Giả sử $m, n \ge 2$ là hai số nguyên dương phân biệt sao cho:
1. Tổng các số trong mọi bảng con kích thước $m \times m$ đều bằng nhau;
2. Tổng các số trong mọi bảng con kích thước $n \times n$ đều bằng nhau;
3. Tồn tại hai ô của bảng được điền hai số thực khác nhau.
Gọi $S$ là tập hợp các số thực phân biệt để điền vào sao cho thỏa mãn các điều kiện trên. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của $|S|$ theo $m, n$.