Tuyển tập và phân loại các bài toán Hình Học từ các kỳ thi chọn đội tuyển HSGQG năm học 2026 - 2027
Cho đường tròn $(O)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Dựng hai tiếp tuyến $MA, MB$ của $(O)$ với $A, B$ là các tiếp điểm. Xét điểm $C$ thuộc $AM$, và điểm $D$ là giao điểm của $BC$ với $(O)$. Chứng minh rằng, nếu $D$ là trung điểm $BC$ thì $MD, MB$ theo thứ tự là tiếp tuyến của các đường tròn $(ACD)$ và $(MOD)$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ có $BC$ là cạnh lớn nhất trong ba cạnh. Trên đoạn thẳng $BC$ lấy hai điểm $D, E$ thỏa mãn $\angle DAC = \angle ABC$ và $\angle EAB = \angle ACB$. Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm của $AD$ và $AE$. Đường tròn $(AMN)$ theo thứ tự cắt lại $AB, AC$ tại $P$ và $Q$. Gọi $T$ là giao điểm của $PM$ và $QN$. Chứng minh rằng, ba đường thẳng $AT, BN, CM$ đồng quy tại một điểm; và hơn nữa điểm này nằm trên đường nối tâm của hai đường tròn $(ABC)$ và $(ADE)$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$ có ba đường cao $AD, BE, CF$ đồng quy tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $P$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $EF$. Gọi $Q$ là giao điểm của $EF$ và $BC$.
a) Gọi $R$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $AP$ và đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng đường thẳng $DR$ đi qua điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $OM$.
b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $X$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMR$. Chứng minh rằng đường thẳng $XH$ vuông góc với $QG$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $DE, DF$.
a) Giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDM$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDN$ là $K$. Chứng minh rằng $K$ nằm trên đường tròn $(I)$.
b) Gọi $P$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDM$ và đường tròn $(O)$, $Q$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDN$ và đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng bốn điểm $P, Q, M, N$ cùng thuộc một đường tròn.
Cho hai đường tròn $(O_1); (O_2)$ có bán kính khác nhau và cắt nhau tại hai điểm $A, B$. Kẻ tiếp tuyến chung $CD$ của hai đường tròn (gần $B$ hơn) với $C \in (O_1); D \in (O_2)$. Dựng điểm $H$ sao cho tam giác $HCD$ nhận $B$ làm trực tâm. Kẻ đường kính $CR$ của $(O_1)$ và đường kính $DS$ của $(O_2)$. Biết rằng $BR$ cắt $HC$ ở $P$ và $BS$ cắt $HD$ ở $Q$. Dựng các điểm $I, J$ sao cho các đoạn thẳng $HI, HJ$ lần lượt nhận $P, Q$ làm trung điểm. Chứng minh rằng hai tam giác $AIC$ và $AJD$ có cùng bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ và có tâm đường tròn nội tiếp $I$. Kẻ phân giác $BB', CC'$ của tam giác $ABC$, trong đó $B', C' \in (O)$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $I$, vuông góc $OI$. Giả sử $d$ cắt các đoạn thẳng $AB, BC, B'C'$ lần lượt ở $E, D, H$ và cắt tia đối của tia $AC$ ở $F$. Trên $(O)$ lấy điểm $L$ sao cho $AL$ song song với $d$. Gọi $A'$ là trung điểm của cung lớn $BC$ của $(O)$ và $AI$ cắt lại $(O)$ tại $K$.
a) Chứng minh rằng $AH = HI = ID = DL = DK$.
b) Gọi $J$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Lấy điểm $G$ trên $(O)$ sao cho $HG$ vuông góc $IJ$ và lấy các điểm $R, S$ trên $(O)$ sao cho $GI = GR = GS$. Giả sử rằng $A, G$ nằm khác phía nhau so với đường thẳng $RS$. Chứng minh rằng $AG, RS$ cắt nhau tại một điểm trên $(J)$.
Cho số nguyên dương $a > 1$ thỏa mãn $(a-1)^3 + a^3 + (a+1)^3$ là lập phương một số nguyên. Chứng minh rằng $a$ chia hết cho 4.
Cho tam giác $ABC$ có góc $\widehat{B} > 90^\circ$, các đường phân giác trong $BE, CF$ ($E \in AC, F \in AB$) cắt nhau tại $I$. Kí hiệu $(XYZ)$ là đường ngoại tiếp tam giác $XYZ$. Gọi $N$ là điểm trên đường tròn $(AEF)$ sao cho góc $\widehat{IAN} = 90^\circ$. Đường thẳng $NI$ cắt lại đường tròn $(AEF)$ tại $L$. Gọi $K$ là tâm của đường tròn $(AIL)$.
a) Chứng minh $KA$ tiếp xúc với đường tròn $(AEF)$.
b) Chứng minh rằng 3 điểm $K, B, C$ thẳng hàng.
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC} = 60^\circ$. Dựng các tam giác đều $ABK, ACL$ về phía ngoài tam giác $ABC$ (hai điểm $K, C$ nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng $AB$ và hai điểm $L, B$ nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng $AC$). Gọi $T, S, R$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $BL$ và $CK$, $AB$ và $CK$, $AC$ và $BL$. Chứng minh rằng tâm đẳng phương của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $KSB, BTC$ và $LRC$ nằm trên đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, đường kính $CD$ của $(O)$ cắt $AB$ tại $E$. Tiếp tuyến tại $A, B$ của $(O)$ cắt nhau ở $T$, $CT$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $S$. Gọi $I$ là tâm của đường tròn $(CME)$.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng $CD, TI, SM$ đồng quy.
b) Đường tròn $(CME)$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$, $MK$ cắt $CE$ tại $F$. Chứng minh rằng ba đường tròn $(EFM)$, $(DFS)$, $(ABF)$ cùng đi qua một điểm khác $F$.
Cho tam giác $ABC$ không cân. Đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các đường thẳng $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $EF$, đường thẳng $MB$ cắt đường thẳng $DE$ tại $S$ và đường thẳng $MC$ cắt đường thẳng $DF$ tại $R$.
a) Chứng minh ba điểm $A, R, S$ thẳng hàng.
b) Gọi $d$ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $AD$ qua đường phân giác trong góc $\widehat{BAC}$. Chứng minh các đường thẳng $RE, SF$ và $d$ đồng quy.
Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) cố định, nội tiếp đường tròn $(O)$. Một điểm $D$ di chuyển trên cạnh $AB$, khác $A$ và $B$. Đường tròn $(BCD)$ cắt cạnh $AC$ tại điểm $E$ khác $C$. Gọi $P$ là giao điểm khác $A$ của hai đường tròn $(O)$ và $(ADE)$.
a) Chứng minh rằng đường thẳng $PD$ luôn đi qua một điểm cố định.
b) Giả sử đường thẳng $PD, PE$ cắt đường tròn $(BCD)$ lần lượt tại điểm $Q, R$ khác $D, E$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $QR$. Chứng minh rằng điểm $M$ luôn di chuyển trên một đường tròn cố định.
Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC < BC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Ba đường cao $AA_1, BB_1, CC_1$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại trực tâm $H$.
a) Gọi $A_0, B_0, C_0$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $BC, CA, AB$. Gọi $X$ là giao điểm của hai đường thẳng $B_0 O$ và $C_0 A_0$, $Y$ là giao điểm của hai đường thẳng $C_0 O$ và $A_0 B_0$. Hai đường thẳng $XY$ và $B_0 C_0$ cắt nhau tại điểm $Z$. Chứng minh đường thẳng $A_0 H$ vuông góc với đường thẳng $A_0 Z$.
b) Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn $(O)$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng $BB_1, CC_1$. Chứng minh đường thẳng $MN$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A_1 HK$.
Cho đường tròn $(O)$ và $BC$ là một dây cung không đi qua tâm. Điểm $M$ thuộc đường tròn $(O)$ sao cho tam giác $MBC$ nhọn. Tiếp tuyến tại $M$ và $B$ của $(O)$ cắt nhau ở $D$. Đường thẳng $CD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $E$. Lấy điểm $F$ thuộc đoạn thẳng $CE$ sao cho $\widehat{CMF} = \widehat{BCD}$. Gọi $I$ là giao điểm thứ hai của $MF$ và đường tròn $(BEF)$, $J$ là giao điểm thứ hai của $BF$ và đường tròn $(MCF)$.
a) Chứng minh $I, J, O, F$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MBD$. Chứng minh $IJ \perp CP$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$. Lấy điểm $P$ sao cho hai đường phân giác trong của góc $\widehat{PBC}$ và $\widehat{PCB}$ cắt nhau tại điểm $I$ thuộc đoạn thẳng $AH$. Gọi $E$ là giao điểm của $BI$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $CI$ và $AB$, $Q$ là giao điểm của $EF$ và $AH$. Lấy lần lượt hai đường thẳng đối xứng với $BC$ qua $AB$ và $AC$, hai đường thẳng này cắt nhau tại $K$.
a) Chứng minh đường tròn bàng tiếp góc $P$ của tam giác $PBC$ và đường tròn nội tiếp tam giác $KBC$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tại cùng một điểm.
b) Chứng minh $P, Q, K$ thẳng hàng.
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Lấy điểm $X$ cố định nằm trên cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$. Một đường thẳng $d$ chuyển động qua $X$. Các đường thẳng $d_A, d_B, d_C$ lần lượt đối xứng với $d$ qua $BC, CA, AB$. Gọi $A'$ là giao điểm của $d_B$ và $d_C$, $B'$ là giao điểm của $d_A$ và $d_C$, $C'$ là giao điểm của $d_A$ và $d_B$.
a) Chứng minh rằng $AA', BB', CC'$ đồng quy tại một điểm nằm trên $(O)$.
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A'B'C'$ luôn đi qua một điểm cố định.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Điểm $D$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $AD \not\perp BC$. Lấy hai điểm $E, F$ lần lượt thuộc $AB, AC$ sao cho $EF \parallel BC$. Qua $E, F$, lần lượt kẻ các đường thẳng song song với $AD$, cắt $BC$ tại $H, G$. Gọi $Q$ là giao điểm của $AD$ và đường trung trực của $BC$; điểm $P$ nằm trên tia $AQ$ sao cho
\[ AP \cdot AQ = AD^2. \]a) Chứng minh rằng $Q$ nằm trên trục đẳng phương của $(BHE)$ và $(CGF)$.
b) Chứng minh rằng $P$ nằm trên trục đẳng phương của $(BHF)$ và $(CGE)$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Một đường tròn $(J)$ bất kì đi qua $I$ và tiếp xúc với $(O)$ tại $T$. Các đường thẳng $AI, BI, CI$ lần lượt cắt $(J)$ tại $D, E, F$ khác $I$.
a) $(ATD)$ cắt lại $AC, AB$ lần lượt tại $N, P$. Chứng minh rằng $PN$ đi qua trực tâm tam giác $DEF$.
b) Gọi $A_1, A_2$ lần lượt là các điểm đối xứng của $A$ qua $DE, DF$; $B_1, B_2$ lần lượt là các điểm đối xứng của $B$ qua $EF, ED$; $C_1, C_2$ lần lượt là các điểm đối xứng của $C$ qua $FD, FE$. Chứng minh rằng $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ nằm trên một tiếp tuyến của $(J)$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai điểm $P, Q$ nằm trong tam giác $ABC$ thỏa mãn
\[ \angle PBA = \angle PCA = \angle QBC = \angle QCB. \]Đường thẳng $BP$ cắt $AC$ tại $E$, đường thẳng $CP$ cắt $AB$ tại $F$. Dựng hình bình hành $PEKF$. Đường thẳng $KP$ cắt $BC$ tại $L$. Chứng minh rằng các đường tròn $(AKP), (LKQ)$ và $(O)$ cùng đi qua một điểm.
Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$) ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với $BC, CA, AB$. Đường thẳng $AI$ cắt $DE, DF$ lần lượt tại $P, Q$. Đường tròn đường kính $PQ$ cắt $BC$ tại $M, N$.
a) Chứng minh rằng $BP$ song song với $CQ$.
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ tiếp xúc với đường tròn $(I)$.
Cho $(O)$ cố định và dây cung $BC$ của $(O)$ cố định, $BC$ không phải đường kính. Điểm $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ của $(O)$. Gọi $M, N$ lần lượt là các trung điểm của $AC, AB$; gọi $Q, P$ lần lượt là hình chiếu của $M, N$ lên đường phân giác của $\widehat{BAC}$. Gọi $BP \cap AC = Y; CQ \cap AB = Z$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $BZYC$ nội tiếp.
b) Gọi $X = BP \cap CQ$. Chứng minh rằng $AX$ đi qua điểm cố định khi $A$ di chuyển.
Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $H$ là giao điểm của $AI$ và $BC$; $K, L$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $IB$ và $IC$. Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AI$ cắt $IB, IC$ lần lượt tại $X$ và $Y$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $DE, DF$ và $EF$.
a) Chứng minh rằng $KL \parallel BC$ và bốn điểm $K, L, X, Y$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi $O_1, O_2$ lần lượt là tâm của hai đường tròn $(MKL)$ và $(DIP)$. Chứng minh rằng giao điểm của $(MKL)$ và $(DIP)$ thuộc đường tròn đường kính $O_1 O_2$.
Cho tứ giác $ABCD$ không phải hình thang, nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$; $F$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Các tiếp tuyến tại $C$ và $D$ của đường tròn $(FCD)$ cắt nhau tại $S$. Gọi $P$ là giao điểm của $SF$ và $CD$; $E$ là giao điểm của $AC$ và $BD$; $H$ là hình chiếu của $E$ trên $SF$; $K$ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn $(ABE)$ và $(CDE)$.
a) Chứng minh rằng các điểm $K, P, M, H$ cùng nằm trên một đường tròn, kí hiệu là $(\omega)$.
b) Tiếp tuyến tại $P$ của đường tròn $(\omega)$ cắt đường tròn $(CDE)$ tại $X, Y$. Gọi $Q$ là giao điểm thứ hai của $KP$ với đường tròn $(CDE)$. Chứng minh rằng $EQ$ là tia phân giác của góc $\widehat{XEY}$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, trực tâm $H$. Điểm $P$ di động trên đường thẳng $BC$ và nằm ngoài đoạn $BC$. $OP$ lần lượt cắt $AC, AB$ tại $Q, R$. Dựng $Y, Z$ lần lượt là hình chiếu của $Q, R$ lên $AB, AC$.
a) Chứng minh rằng $YZ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ thay đổi.
b) Gọi giao điểm của $QY$ và $RZ$ là $S$, $SH$ và $YZ$ là $X$. Chứng minh rằng $XA \perp XP$.
Cho tam giác $ABC$ không cân ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $K$ là trực tâm của tam giác $BIC$.
a) $CK, BK$ lần lượt cắt $DE, DF$ tại $S, T$, và $ST$ cắt $EF$ tại $R$. Chứng minh rằng $IR \perp AK$.
b) Chứng minh rằng $AK, BC$ và đường thẳng Euler của tam giác $KBC$ đồng quy hoặc đôi một song song.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, có đường cao $AH$. Gọi $X, Y$ là hai điểm phân biệt thay đổi trên cạnh $BC$ sao cho $\widehat{CAX} = \widehat{BAY}$; $K, S$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $AX, AY$; $T, L$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $AX, AY$.
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng $AH, TL, SK$ đồng quy.
b) Chứng minh rằng giao điểm của $KL$ và $ST$ thuộc một đường thẳng cố định khi $X, Y$ thay đổi trên cạnh $BC$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$, có ba đường cao $AD, BE, CF$ đồng quy tại $H$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Các đoạn thẳng $AG, BG, CG$ theo thứ tự cắt đường tròn $(DEF)$ tại $I, J, K$. Các đường tròn $(AID), (BJE), (CKF)$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại các điểm thứ hai tương ứng là $X, Y, Z$.
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng $AX, BY, CZ$ đồng quy tại một điểm trên đường thẳng $OH$.
b) Đường thẳng $AC$ cắt đường tròn $(AHB)$ tại điểm thứ hai là $N$; đường thẳng $AB$ cắt đường tròn $(AHC)$ tại điểm thứ hai là $M$. Đường tròn $(HMN)$ cắt lại các đường thẳng $AB, AC$ tại các điểm thứ hai tương ứng là $S, T$. Chứng minh $ST$ vuông góc với $OH$.
Cho tứ giác lồi $ABCD$ có các cạnh $AD$ và $BC$ không song song. Các đường tròn đường kính $AB$ và $CD$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $E, F$. Đường tròn $\omega_E$ đi qua các chân đường vuông góc kẻ từ $E$ đến các đường thẳng $AB, BC, CD$; đường tròn $\omega_F$ đi qua các chân đường vuông góc kẻ từ $F$ đến các đường thẳng $CD, DA, AB$.
a) Chứng minh rằng đường tròn $\omega_E$ đi qua chân đường vuông góc kẻ từ $E$ đến đường thẳng $DA$.
b) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng $EF$ nằm trên đường thẳng đi qua hai giao điểm của các đường tròn $\omega_E$ và $\omega_F$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn $(O)$, có đường phân giác $AD$ ($D \in BC$). Lấy điểm $P$ thuộc đoạn thẳng $AD$ ($P$ khác $A$ và $D$). Gọi $X, Y, Z$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $P$ lên các cạnh $BC, CA, AB$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$ cắt cạnh $BC$ tại điểm thứ hai $X'$ ($X' \neq X$).
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng $AX', BY, CZ$ đồng quy.
b) Đường thẳng $YZ$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $M, N$ sao cho $M, Y, Z, N$ theo thứ tự nằm trên đường thẳng $YZ$. Hai tiếp tuyến tại $B, C$ của $(O)$ cắt nhau tại $S$. Đường thẳng $AP$ cắt lại $(O)$ tại điểm thứ hai $T$. Chứng minh rằng hai tia $SP$ và $ST$ đẳng giác trong góc $\widehat{MSN}$ và đường thẳng $SP$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $PMN$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB < AC$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D$. Đường thẳng $AD$ cắt $(I)$ tại điểm $E$ khác $D$. Tiếp tuyến của $(I)$ tại $E$ cắt các đường thẳng $AB, AC$ lần lượt tại $M, N$. Đường thẳng vuông góc với $MN$ tại $N$ cắt $MI$ tại $P$. Đường thẳng vuông góc với $AC$ tại $N$ cắt $CI$ tại $Q$.
a) Chứng minh rằng đường thẳng $BN$ vuông góc với $PQ$.
b) Gọi $K$ là giao điểm của $BN$ với $CM$ và $L$ là trung điểm của đoạn $PQ$. Chứng minh rằng ba điểm $K, I, L$ thẳng hàng.
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, thỏa mãn $AB = AD$ và $\angle BAD > 90^\circ$. Đường thẳng $CO$ cắt đường tròn $(BOD)$ tại điểm $G$ khác $O$. Lấy điểm $L$ trên đường thẳng $CA$ sao cho $\angle CGL = 90^\circ$.
a) Gọi $E, F$ lần lượt là các điểm đối xứng của $G$ qua $OB, OD$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $GL, BD, EF$ đồng quy.
b) Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $L$ lên $CB, CD$. Các đường thẳng $GH, GK$ cắt $CA$ lần lượt tại $M, N$. Chứng minh rằng $L$ có cùng phương tích đối với hai đường tròn $(GMN)$ và $(BOD)$.
Cho hình bình hành $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Gọi $(I)$ là đường tròn nội tiếp tam giác $OBC$ và $(I)$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $E$.
a) Giả sử tam giác $ADE$ nhọn. Gọi $O_1, O_2, O_3$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABE, ADE, CDE$. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác $O_1 O_2 O_3$ nằm trên đường thẳng $AD$.
b) Giả sử tồn tại điểm $S$ khác phía với $O$ đối với đường thẳng $AD$ sao cho các đường thẳng $SA, SD$ cùng tiếp xúc với đường tròn $(I)$. Gọi $K$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $SAD$. Chứng minh rằng đường thẳng $OK$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AD$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M, N$ lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ $BC$ và cung lớn $\widehat{BAC}$ của $(O)$.
a) Gọi $I, J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $AMB, AMC$. Chứng minh rằng bốn điểm $A, N, I, J$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi $(K)$ là đường tròn tiếp xúc với các đoạn thẳng $AM, AB$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$; $(L)$ là đường tròn tiếp xúc với các đoạn thẳng $AM, AC$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến chung trong khác $AM$ của hai đường tròn $(K)$ và $(L)$ cắt đường thẳng $MN$ tại điểm $Z$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AZN$ tiếp xúc với cả hai đường tròn $(K)$ và $(L)$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp $(O)$. Một đường tròn $(\omega) \neq (O)$ đi qua $B$ và $C$ cắt các đoạn $AB$ và $AC$ tại các điểm thứ hai lần lượt là $T$ và $S$. Gọi $H$ là giao điểm của $BS$ và $CT$. Một đường thẳng qua $H$ và không đi qua các đỉnh của tam giác $ABC$, cắt các đoạn $AB$ và $AC$ lần lượt tại $L$ và $K$. Đường thẳng qua $K$ và song song với $BS$ cắt đường thẳng $AB$ tại $F$. Đường thẳng qua $L$ và song song với $CT$ cắt đường thẳng $AC$ tại $E$.
a) Chứng minh rằng $\dfrac{TS}{KL} = \dfrac{BC}{EF}$.
b) Các đường thẳng $KF$ và $LE$ cắt $BC$ lần lượt tại $R$ và $Q$. $KF$ cắt $LE$ tại $P$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$ tiếp xúc với $(O)$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định với $B, C$ cố định, $A$ dịch chuyển trên cung lớn $BC$. Phân giác của góc $\widehat{BAC}$ cắt $BC$ tại $K$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$; $BH$ và $CH$ cắt $AK$ lần lượt tại $E$ và $F$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KBE$ cắt $AB$ tại điểm $G$ khác $B$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KCF$ cắt $AC$ tại $L$ khác $C$.
a) Chứng minh rằng $AG = AL = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{AB + AC}$.
b) Gọi $Q$ là giao điểm của $GL$ và $BC$, $S$ là giao điểm của $BL$ và $CG$. Chứng minh rằng đường thẳng $QS$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ dịch chuyển trên cung lớn $BC$ thỏa mãn đề bài.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$. Đường phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt $BC$ tại $E$ và cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $M$. Đường tròn tâm $E$ bán kính $EM$ cắt cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(O)$ và tia $MO$ tại các điểm thứ hai tương ứng là $D$ và $Q$. Lấy điểm $P$ thuộc đoạn thẳng $AD$ ($P \neq A, P \neq D$) sao cho $\widehat{ABP} = \widehat{ACP}$.
a) Chứng minh rằng bốn điểm $A, E, Q, D$ đồng viên.
b) Gọi giao điểm của $AM$ với $BP, CP$ tương ứng là $K, L$. Chứng minh rằng $OP$ là đường trung trực của đoạn thẳng $KL$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$, có tâm đường tròn nội tiếp là $I$. Đường thẳng vuông góc với $AI$ tại $I$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn $(O)$ và đường thẳng $AI$ tương ứng tại $G, H$ ($G$ khác $A$).
a) Gọi $(O_1)$ là đường tròn tiếp xúc với các cạnh $AB, AC$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $T$. Chứng minh rằng bốn điểm $G, T, H, I$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Tiếp tuyến tại $G$ của $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $J$, đường thẳng $AJ$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $K$ khác $A$. Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $BC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $DJK$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $GHI$ tiếp xúc với nhau.
Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $P, Q$. Đường thẳng qua $P$ cắt $(O_1), (O_2)$ lần lượt tại $A$ và $B$ (không trùng với $Q$). Trên đường tròn $(O_1)$ lấy điểm $F$ thuộc cung $\widehat{PQ}$ không chứa điểm $A$. Kẻ đường thẳng $d$ qua $F$ song song với $AB$, $d$ cắt đường tròn $(O_2)$ tại $C, E$ và cắt lại $(O_1)$ tại $D$ ($E, F$ nằm trong đoạn thẳng $CD$). Gọi $M$ là giao điểm của $AD$ và $BE$, $N$ là giao điểm của $BC$ và $AF$, $K$ là điểm đối xứng của $P$ qua $CD$.
a) Chứng minh ba điểm $M, K, N$ thẳng hàng.
b) Chứng minh $PK$ là đường phân giác của góc $\widehat{MPN}$.
a) Cho $p > 3$ là số nguyên tố thỏa mãn $\gcd(p - 1, 2023) = 1$. Chứng minh rằng:
$$\sum_{i=1}^{p-1} i^{2026} \equiv 0 \pmod p$$b) Cho $p > 3$ là số nguyên tố và $x \in \mathbb{N}^*$ sao cho:
$$\begin{cases} x^3 - 1 \equiv 0 \pmod p \\ x^2 - 1 \not\equiv 0 \pmod p \end{cases}$$Chứng minh rằng $p \equiv 1 \pmod 3$ và $(x + 1)^p \equiv x^p + 1 \pmod{p^2}$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB < AC$ và đường cao $AD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, AC$. Dựng các hình bình hành $ABCB', ABA'C, ACBC'$. Gọi $K$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDN$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDM$.
a) Gọi $X$ là giao điểm của $MN$ và $BC'$, $Y$ là giao điểm của $MN$ và $CB'$. Chứng minh rằng $X$ thuộc đường tròn $(BDN)$, $Y$ thuộc đường tròn $(CDM)$ và đường thẳng $DK$ đi qua trung điểm $Q$ của đoạn thẳng $MN$.
b) Chứng minh rằng đường tròn $(KMC')$ cắt đường tròn $(KNB')$ tại một điểm nằm trên đường thẳng $B'C'$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$) có các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại trực tâm $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $K$ ($K \ne A$). Đường thẳng $HK$ cắt $BC$ tại $P$.
a) Chứng minh rằng ba điểm $P, E, F$ thẳng hàng.
b) Gọi $Q$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $AM$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $KQ \perp PM$.
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai đường chéo $AC, BD$ cắt nhau tại $I$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$. Qua $I$ kẻ các đường thẳng vuông góc với $AC, BD$ lần lượt cắt $BD, AC$ tại $P, Q$.
a) Chứng minh rằng $PQ \parallel MN$.
b) Gọi $R$ là hình chiếu của $I$ trên $MN$. Chứng minh rằng $R$ thuộc đường tròn Euler của tam giác $IPQ$.
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$, đường cao $AH$, trực tâm $K$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $M$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc với $BC$ cắt $AC$ tại $F$. Gọi $L$ là hình chiếu vuông góc của $K$ trên $AF$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $AHEL$ nội tiếp.
b) Đường thẳng $EF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $KBC$ tại $P$ ($P$ và $A$ nằm cùng phía so với đường thẳng $BC$). Đường thẳng $AP$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $Q$. Chứng minh rằng $Q, K, M$ thẳng hàng.
Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ cố định không đi qua $O$. Điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và $AB < AC$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$, $D$ là chân đường cao kẻ từ $A$. Đường tròn tâm $H$ bán kính $HA$ cắt $(O)$ tại $E, F$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $M$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $ADHM$ nội tiếp.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AME$ cắt $(O)$ tại $N$ ($N \ne A$). Chứng minh rằng đường thẳng $HN$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ thay đổi.
Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O)$, trực tâm $H$. Đường tròn $(K)$ đi qua $B, C$ cắt các cạnh $AB, AC$ lần lượt tại $F, E$. Gọi $M$ là giao điểm của $BE$ và $CF$. Giả sử $HM \perp BC$.
a) Chứng minh rằng $A, M, K$ thẳng hàng.
b) Gọi $P$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ với $(O)$. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $P$ của $(O)$ cắt đường thẳng $EF$ tại một điểm nằm trên đường đối cực của $A$ đối với $(K)$.
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $P$ là giao điểm của $AB$ và $CD$, $Q$ là giao điểm của $AD$ và $BC$, $R$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $R$ trên $PQ$.
a) Chứng minh rằng $RH$ là phân giác của góc $\widehat{BHD}$ và $\widehat{AHC}$.
b) Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC, BD$. Chứng minh rằng $H, M, N$ thẳng hàng.
Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $K$ là hình chiếu của $H$ trên $AM$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $BKDC$ nội tiếp và $K$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$.
b) Đường thẳng qua $K$ vuông góc với $AK$ cắt các cạnh $AB, AC$ lần lượt tại $P, Q$. Chứng minh rằng $KP = KQ$.
Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $AI$ cắt $BC$ tại $K$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $AI$ cắt $BC$ tại $P$.
a) Chứng minh rằng $(PK, BC) = -1$ và $PD \cdot PM = PB \cdot PC$.
b) Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $EF$ cắt $AI$ tại $N$. Chứng minh rằng $MN \perp AI$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $EF$ cắt $BC$ tại $P$. Đường thẳng qua $D$ song song với $EF$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $Q, R$.
a) Chứng minh rằng $P$ nằm trên trục đẳng phương của đường tròn đường kính $AH$ và $(O)$.
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $BC$.
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. $AI$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D \ne A$). Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu của $I$ trên $AB, AC$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $T$.
a) Chứng minh rằng $TI \perp AD$.
b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $DM$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $K$. Chứng minh rằng $T, I, K$ thẳng hàng.
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $(O)$ tại $K$ ($K \ne A$). Đường thẳng $HK$ cắt $BC$ tại $M$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $BKMC$ nội tiếp một đường tròn.
b) Gọi $N$ là trung điểm cạnh $BC$. Đường thẳng $AN$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $P$. Chứng minh rằng bốn điểm $K, H, P, N$ cùng thuộc một đường tròn.
Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ là $J$. Đường tròn $(J)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$, tiếp xúc với phần kéo dài của $AB, AC$ lần lượt tại $E, F$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $AD$ cắt $(J)$ tại điểm thứ hai $K$.
a) Chứng minh rằng $EF, DK, BC$ đồng quy.
b) Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $EF$ cắt $KM$ tại $L$. Chứng minh rằng $AL \parallel BC$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $EF$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $X, Y$.
a) Chứng minh rằng $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DXY$.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AXY$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $K$ ($K \ne A$). Chứng minh rằng $K, H, M$ thẳng hàng.
Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, $(I)$ tiếp xúc với $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, đường thẳng $AD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $N$ ($N \ne A$). Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $IM$ cắt $EF$ tại $K$.
a) Chứng minh rằng $KD$ là tiếp tuyến của $(I)$.
b) Gọi $P$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Chứng minh rằng $NP \perp OI$.
Cho tam giác $ABC$ ($AC < BC$) và đường phân giác $AD$ ($D \in BC$). Gọi $K$ là trung điểm $AB$, trên tia đối của tia $CB$ lấy $E$ sao cho $\angle ACK = \angle AEC$. Giả sử rằng $CD = CE$.
a) Chứng minh rằng $DA = DB$.
b) Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, lấy $J$ thuộc đoạn $BC$ sao cho $CA = CJ$, gọi $L$ là giao điểm của $DK$ và $AJ$, $M$ là giao điểm của $CL$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$, $G$ là giao điểm của $IM$ và $AB$. Chứng minh rằng 5 điểm $B, L, D, M, G$ cùng thuộc một đường tròn.
Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Các đường thẳng $BI, CI, DI$ lần lượt cắt $EF$ tại $M, N, K$. Trên các đường thẳng $BM, CN$ lần lượt lấy các điểm $P, Q$ sao cho $CP \parallel BQ \parallel AI$.
a) Chứng minh rằng ba đường tròn $(IPQ), (IMN), (IBC)$ đồng trục.
b) Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $S$. Hai tiếp tuyến tại $E$ và $F$ của đường tròn $(AEF)$ cắt nhau tại $T$. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua $S$ và vuông góc với $TK$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$.
Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$, và đường tròn ngoại tiếp là $(O)$. Các đường thẳng $BE, CF$ cắt lại $(I)$ lần lượt tại $P, Q$. Tiếp tuyến của $(I)$ tại $P, Q$ cắt đường thẳng $BC$ lần lượt tại $M, N$. Gọi $T$ là trung điểm cung $BC$ của $(O)$ không chứa $A$. Đường thẳng $TD$ cắt lại $(O)$ tại $K$. Chứng minh rằng đường tròn $(KMN)$ tiếp xúc với $(O)$.