Tuyển tập và phân loại các bài toán Số Học từ các kỳ thi chọn đội tuyển HSGQG năm học 2026 - 2027
Cho số nguyên dương $a$. Chứng minh rằng, dãy số $(x_n)$ xác định bởi các hệ thức sau chỉ có hữu hạn số hạng là hợp số: $$x_1 = a; \quad \forall n \in \mathbb{N}^* : x_{n+1} = \min\{ s \in \mathbb{N}^* \mid s > x_n \land \gcd(s; x_1 \dots x_n) = 1 \}.$$
Cho hai dãy số $(a_n), (b_n)$ xác định như sau:
$$a_0 = 1, a_1 = 1, a_{n+2} = 2a_{n+1} + a_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}$$ $$\text{và } b_0 = 0, b_1 = 1, b_{n+2} = 2b_{n+1} + b_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}.$$Chứng minh rằng, với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ thì:
a) $a_n + b_n\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^n$ và cặp số $a_n, b_n$ nguyên tố cùng nhau.
b) $\dfrac{b_{4n}}{2}$ là số nguyên nhưng không là số chính phương.
Với mỗi cặp số nguyên dương $a$ và $b$. Kí hiệu $f(a, b) = 11a + 6b + 8ab$.
a) Chứng minh rằng với $a, b, c, d \in \mathbb{Z}^+$ và $m > 1$ là lũy thừa của 2 nếu có
\[ f(a, b) \equiv f(c, d) \pmod m \quad \text{và} \quad f(b, a) \equiv f(d, c) \pmod m \]thì $a - c$ và $b - d$ đều chia hết cho $m$. Hỏi kết luận có còn đúng không nếu $m$ có ước nguyên tố lẻ?
b) Chứng minh rằng $k = 2$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho $f(a, b) + k$ không là số chính phương $\forall a, b \in \mathbb{Z}^+$.
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi: $x_0 = 0, x_1 = 1$ và $x_{n+2} = 5x_{n+1} - x_n, \; \forall n \in \mathbb{N}$.
a) Chứng minh rằng biểu thức $\dfrac{x_{2n}}{x_n}$ là một số nguyên với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ và $21x_n^2 + 4$ là một số chính phương với mọi số tự nhiên $n$.
b) Tìm tất cả các số nguyên $n \ge 0$ sao cho biểu thức $B_n = 21x_n^2 + 3$ là một số nguyên tố.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
(i) Số lượng các ước số dương của $n$ là một số chẵn;
(ii) Tập tất cả các ước số dương của $n$ có thể chia thành từng cặp phân biệt (mỗi ước số chỉ xuất hiện trong một cặp), sao cho tổng của hai số trong mỗi cặp là một lũy thừa của 3.
a) Giả sử $a$ là một số nguyên dương và $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng:
\[ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2} \iff a^{(p-1)^2} \equiv 1 \pmod{p^2}. \]b) Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i) $5^{(p-1)^2} - 1$ không chia hết cho $p^2$;
ii) $p^x + 5 = y^p$.
Xét tập hợp $A$ gồm $n$ số tự nhiên $x_1, x_2, \dots, x_n$ thỏa mãn cả hai điều kiện sau:
i) $1 = x_1 < x_2 < \dots < x_n = 2026$.
ii) Với mọi $k \in \{2, 3, \dots, n\}$, luôn tồn tại $i, j \in \mathbb{N}^*$ với $i < k, j < k$ sao cho $x_k = x_i + x_j$ ($x_i$ có thể bằng $x_j$).
a) Chỉ ra một tập hợp $A$ với $n = 15$.
b) Chứng minh $n \ge 13$.
Với mỗi số nguyên dương $n$, ta đặt $T_n = 2027^n - 2026^n$.
a) Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n$ là ước của $T_n - 1$.
b) Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại số nguyên $m$ thỏa mãn $T_n$ là ước của $m^2 + 4053^2$ (trong đó $4053 = 3 \times 7 \times 193$).
Xét dãy số nguyên dương $(a_n)$ thoả mãn $a_1 > 1$ và $(2^n - 1)a_{n+1}$ là số chính phương với mọi $n \in \mathbb{Z}^+$. Chứng minh rằng với mọi $n \in \mathbb{Z}^+$ thì $a_n > 1$ và $g(a_{n+1}) > g(a_n)$, trong đó $g(k)$ là ước nguyên tố lớn nhất của số nguyên dương $k > 1$.
Với số nguyên dương $n \geq 2$, một bảng ô vuông $n \times n$ được gọi là bảng tốt nếu trong mỗi ô vuông đơn vị chứa một số nguyên dương thỏa mãn:
(i) Các số nguyên dương đôi một phân biệt;
(ii) Nếu trên mỗi hàng, mỗi cột, ta tính ước chung lớn nhất của $n$ số nguyên dương trong hàng, cột đó thì sau tất cả ta thu được $2n$ kết quả khác nhau.
a) Chứng minh rằng trong mỗi bảng $n \times n$ tốt, luôn có một ô vuông chứa số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng $2n^2$.
b) Một bảng ô vuông $n \times n$ được gọi là tốt tối tiểu nếu tất cả các số nguyên dương trong bảng đều nhỏ hơn hoặc bằng $2n^2$. Chứng minh rằng không tồn tại bảng tốt tối tiểu với $n$ là số lẻ.
c) Xác định tất cả các giá trị $n \geq 2$ để tồn tại bảng $n \times n$ tốt tối tiểu.
Tìm tất cả các cặp số nguyên tố lẻ $(p, q)$, với $p < q$, thỏa mãn $p^{q^2} + (p+2)^{p^2}$ chia hết cho $q$ và $C_{3pq}^{pq}$ chia hết cho $pq$.
Cho số nguyên dương lẻ $n$. Một số nguyên dương $m$ được gọi là số tốt nếu $m^x + x^m$ chia hết cho $n^x + x^n$ với mọi số nguyên dương $x$.
a) Chứng minh nếu $m$ là một số tốt thì $m$ chia hết cho $n$.
b) Tìm tất cả các số tốt.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\dfrac{10^n}{n^3 + n^2 + n + 1}$ là một số nguyên.
Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $\tau(n)$ là số các ước nguyên dương của $n$.
a) Chứng minh rằng $\tau(n) \le 2\sqrt{n}$, với mọi số nguyên dương $n$.
b) Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho dãy số $\tau(n), \tau(\tau(n)), \tau(\tau(\tau(n))), \dots$ không chứa bất kì số chính phương nào.
Cho dãy số nguyên $(u_n)$ được xác định bởi $u_1 = 3, u_2 = 7$ và
\[ u_{n+2} = 3u_{n+1} - u_n, \quad \forall n \ge 1 \]Cho $N$ là hợp số lẻ không chia hết cho 3 và $u_N \equiv 3 \pmod N$. Đặt $M = \dfrac{u_N}{3}$.
a) Chứng minh rằng $u_N$ chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
b) Chứng minh rằng $M \equiv 1 \pmod{4N}$ và $M$ là một hợp số.
Cho số nguyên dương $n \ge 3$ và một số nguyên tố lẻ $p$. Với mỗi $S$ là tập hợp gồm $n$ số nguyên dương phân biệt, ta ký hiệu $l_p(S)$ là số các lũy thừa cơ số $p$ có thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba phần tử đôi một khác nhau thuộc $S$. Hãy xác định giá trị lớn nhất có thể có của $l_p(S)$ theo $n, p$.
Cho dãy số nguyên $(x_n)$ xác định bởi $x_1 = x_2 = 1$ và
\[ x_{n+2} = 3x_{n+1} + 2x_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*. \]a) Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $17x_n^2 - (-2)^{n+2}$ là số chính phương.
b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố $p$ sao cho $p \nmid x_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình
\[ 2^x \cdot 7^y = 1 + 3^z \cdot 5^t \cdot 13^u. \]Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m, n)$ thỏa mãn
\[ \pi(m) - \pi(n) = \frac{(m-2)\varphi(n)}{n}, \]trong đó $\pi(k)$ là số các số nguyên tố không vượt quá $k$, còn $\varphi(k)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $k$ và nguyên tố cùng nhau với $k$.
Một hàm số $a: \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$ được gọi là hàm tự đếm nếu với mọi $k \in \mathbb{Z}^+$, giá trị $a(k)$ đúng bằng số các số nguyên dương $n \le k$ thỏa mãn
$$k \equiv n \pmod{a(n)}.$$a) Chứng minh rằng hàm tự đếm như vậy là duy nhất và tính $a(2026)$.
b) Tìm các cặp số nguyên dương $(k, m)$ thỏa mãn $a(k) = m$ và $m \mid k$.
Cho $A(n) = 10^{10^n} - 9^{9^n}$ với $n \in \mathbb{N}^*$.
a) Tìm một giá trị của $n$ sao cho $A(n)$ có hai chữ số tận cùng giống nhau.
b) Chứng minh rằng nếu $A(n)$ có $k$ chữ số tận cùng giống nhau thì $k \leq 4$.
a) Cho số nguyên dương $m$ thỏa mãn $m = p^\alpha$, với $p$ nguyên tố và $\alpha$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng mọi số nguyên $n$ đều có thể biểu diễn dưới dạng $n = a + b$, trong đó $a$ là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với $m$ và $b$ là một số nguyên sao cho $b^2 \equiv b \pmod m$.
b) Chứng minh rằng khẳng định trên vẫn đúng với mọi số nguyên $m > 1$.
Xét dãy số $(a_n)$ xác định bởi: $a_0 = 0, a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 6$ và
$$a_{n+4} = 2a_{n+3} + a_{n+2} - 2a_{n+1} - a_n, \quad \text{với mọi } n \geq 0.$$a) Chứng minh rằng $a_n$ chia hết cho $n$ với mọi số nguyên dương $n$.
b) Với mỗi số nguyên dương $m$, kí hiệu $\varphi(m)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $m$ và nguyên tố cùng nhau với $m$. Chứng minh rằng $\varphi\left(\dfrac{a_{2027}}{2027}\right)$ là một số chia hết cho 4.
Cho số nguyên dương $k > 1$. Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $\sigma_k(n)$ là tổng lũy thừa bậc $k$ của các ước nguyên dương của $n$. Gọi $n$ là một số tốt nếu $n \mid \sigma_k(n)$.
a) Chứng minh rằng $\sigma_k(n)$ là hàm nhân tính và tồn tại một dãy vô hạn các số tốt $n_1 < n_2 < n_3 < \dots$ sao cho $n_i \mid n_{i+1}$ với mọi $i \ge 1$.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $r$, tồn tại một số tốt có ít nhất $r$ ước nguyên tố phân biệt.
a) Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $\sigma(n)$ là tổng các ước dương của $n$. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $n$ là ước của $2^{\sigma(n)} - 1$.
b) Cho dãy số nguyên dương $(a_n)_{n \geq 1}$ và dãy các số nguyên tố $(p_n)_{n \geq 1}$ thoả mãn với mỗi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có $p_n \mid a_n$ và $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{p_n} (p_n^{1013} - 1)$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $a_m$ chia hết cho 2026.
Một số nguyên dương $n$ được gọi là số $n$–tốt nếu tồn tại số $a \in \{1; 2; \dots; 2026\}$ sao cho số $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn $\frac{10^k - 1}{n \cdot a}$ là một số thập phân hữu hạn. Ký hiệu $S(n)$ là tập hợp các số $n$–tốt.
a) Chứng minh rằng số $k = 6$ là một số 18–tốt.
b) Tìm giá trị lớn nhất của $|S(n)|$ khi $n$ thay đổi.
a) Chứng minh rằng số nguyên dương chẵn $n$ là số hoàn hảo khi và chỉ khi $n$ có biểu diễn $n = 2^{m-1}(2^m - 1)$, trong đó $m$ là số nguyên dương lớn hơn 1 và $2^m - 1$ là số nguyên tố.
b) Chứng minh không tồn tại số hoàn hảo lẻ có đúng 3 ước nguyên tố phân biệt.
Một số nguyên dương $n > 1$ được gọi là một số "đẹp" nếu tồn tại các ước số $d_1, d_2, \dots, d_k$ đôi một phân biệt của $n$ ($k \geq 2$) sao cho $n = d_1 d_2 \dots d_k$ và $d_i^2 \mid (n + 3d_i)$ với mọi $i = \overline{1, k}$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số "đẹp".
a) Giả sử $n \in S$ là một số chính phương và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng các ước số $d_1, d_2, \dots, d_k$ đôi một nguyên tố cùng nhau và mỗi $d_i$ đều là một số chính phương.
b) Chứng minh rằng tập hợp $S$ có vô hạn phần tử.
Cho hai dãy số nguyên $(x_n)_{n \geq 0}$ và $(y_n)_{n \geq 1}$ được xác định như sau:
$$x_0 = 0; \quad x_1 = 2; \quad x_{n+1} = 6x_n - x_{n-1}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*;$$ $$y_1 = 17; \quad y_{n+1} = 2y_n^2 - 1, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*.$$a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$ lẻ thì $p$ là ước của $x_{p-1} \cdot x_{p+1}$.
b) Cho trước hai số nguyên dương $a, b$ với $b > a + 2$. Chứng minh rằng chỉ tồn tại hữu hạn cặp số nguyên dương $(c; n)$ sao cho $(c+a)(c+b)$ là ước của $y_n$.
Cho $n$ số nguyên dương đôi một phân biệt $a_1, \dots, a_n$. Đặt
\[ b_i = (a_i - a_1)\dots(a_i - a_{i-1})(a_i - a_{i+1})\dots(a_i - a_n). \]Chứng minh rằng $(n-1)!$ là ước của $\operatorname{lcm}(b_1, \dots, b_n)$, trong đó $\operatorname{lcm}(b_1, \dots, b_n)$ là bội chung nhỏ nhất của các số nguyên $b_1, \dots, b_n$.
Cho $n > 1$ là một số nguyên lẻ, ta viết $n = 2^s d + 1$ trong đó $s \geq 1$ và $d$ là số nguyên dương lẻ. Với mỗi số nguyên $a$ thỏa mãn $\gcd(a, n) = 1$, ta nói $a$ có liên hệ với $n$ nếu $a^d \equiv 1 \pmod n$ hoặc trong dãy $a^d, a^{2d}, a^{4d}, \dots, a^{2^{s-1}d}$ có đúng một số hạng đồng dư với $-1$ theo modulo $n$. Chứng minh rằng $n$ là số nguyên tố khi và chỉ khi với mọi số nguyên $a$ thỏa mãn $\gcd(a, n) = 1$ đều có liên hệ với $n$.
Tìm số nguyên dương $N$ nhỏ nhất sao cho tồn tại 2026 số nguyên không âm liên tiếp mà tổng tất cả các chữ số của chúng bằng $N$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n \equiv 2 \pmod 4$ và $A(k) = 3^k n - 1$ là số nguyên tố với mọi $k \in \{1; 2; \dots; n\}$.
Thầy giáo cho 10 học sinh làm bài kiểm tra với $n$ câu hỏi trắc nghiệm với 4 phương án A, B, C, D. Biết rằng thầy giáo chọn 2 học sinh bất kỳ thì thấy 2 học sinh này có nhiều nhất 1 câu hỏi có cùng một phương án.
a) Với $n = 3$, tìm một ví dụ thỏa mãn bài toán.
b) Tìm giá trị lớn nhất của $n$.
Cho tập hợp $S = \{1, 2, \dots, 2025\}$. Một tập con $A$ của $S$ được gọi là tập "cân xứng" nếu không tồn tại hai phần tử phân biệt $x, y \in A$ sao cho $x + y$ chia hết cho 5.
a) Tìm số phần tử lớn nhất có thể có của tập con $A$.
b) Có bao nhiêu tập con $A$ có số phần tử lớn nhất?
Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4k + 3$. Giả sử $a, b, c$ là các số nguyên thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 \equiv 0 \pmod p$. Chứng minh rằng $a \equiv b \equiv c \equiv 0 \pmod p$.
Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố $(p, q, r)$ sao cho $p^q + q^p = r$.
Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $p \mid (2^n + n)$.
Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4k + 1$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $x, y$ sao cho $x^2 + y^2 = p$.
Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng số $A = 2^{2^n} + 2^{2^{n-1}} + 1$ có ít nhất $n$ ước số nguyên tố phân biệt.
Cho $p$ là một số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên $x, y$ sao cho $x^2 + xy + y^2 \equiv 0 \pmod p$ và $x, y$ không cùng chia hết cho $p$, thì $p \equiv 1 \pmod 3$.
Tìm tất cả số nguyên $n \ge 2$ sao cho tồn tại vô hạn bộ $n$ số nguyên dương liên tiếp thỏa mãn tổng của chúng là số chính phương và đồng thời không là lũy thừa của 2.
Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng:
a) $(n+1)C_{n^2}^n \mid (2n-1)C_{2n}^n C_{2n^2}^{2n}$.
b) $\dfrac{(2n-1)C_{2n}^n C_{2n^2}^{2n}}{(n+1)C_{n^2}^n}$ là số nguyên lẻ khi và chỉ khi $n+1$ là lũy thừa của 2.